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| Aufgabe | Die Permutation [mm] \pi_{1},\pi_{2} \in S_{8} [/mm] sind Zyklendarstellungen gegeben durch
[mm] \pi_{1} [/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
[mm] \pi_{2} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
Berechnen Sie die Zyklendarstellung von
(a) [mm] \pi_{1}^{-1}
[/mm]
(b) [mm] \pi_{2}^{-1}
[/mm]
(c) [mm] \pi_{2}\circ\pi_{1} [/mm] |
Ich würde jetzt hergehen und diese Zyklenschreibweise in eine Permutatiosschreibweise umändern
[mm] \pi_{1} [/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 4 & 1 & 5 & 7 & 6 & 2 }
[/mm]
[mm] \pi_{2} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 }
[/mm]
(a)
[mm] \pi_{1}^{-1}
[/mm]
(3 8 4 1 5 7 6 2) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 4 2 1 3 5 6 7 8
In Zyklenschreibweise
(1 4 3)(2)(5)(6)(7)(8)
(b)
[mm] \pi_{2}^{-1}
[/mm]
(4 1 7 8 3 2 5 6) o (4 1 7 8 3 2 5 6) = 8 4 5 6 7 1 3 2
In Zylendarstellung:
(1 8 2 4 6)(3 5 7)
(c)
[mm] \pi_{2}\circ\pi_{1}
[/mm]
(4 1 7 8 3 2 5 6) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 7 6 8 4 3 5 2 1
In Zylendarstellung:
(1 7 2 6 5 3 8)(4)
Stimmt das ?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Mfg
Frankster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 16.05.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Frankster!
> Die Permutation [mm]\pi_{1},\pi_{2} \in S_{8}[/mm] sind
> Zyklendarstellungen gegeben durch
>
> [mm]\pi_{1}[/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
>
> [mm]\pi_{2}[/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
>
> Berechnen Sie die Zyklendarstellung von
> (a) [mm]\pi_{1}^{-1}[/mm]
> (b) [mm]\pi_{2}^{-1}[/mm]
> (c) [mm]\pi_{2}\circ\pi_{1}[/mm]
> Ich würde jetzt hergehen und diese Zyklenschreibweise in
> eine Permutatiosschreibweise umändern
>
> [mm]\pi_{1}[/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 4 & 1 & 5 & 7 & 6 & 2 }[/mm]
>
>
> [mm]\pi_{2}[/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 }[/mm]
Das kann man machen, ist aber ein Umweg!
> (a)
> [mm]\pi_{1}^{-1}[/mm]
>
> (3 8 4 1 5 7 6 2) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 4 2 1 3 5 6 7 8
> In Zyklenschreibweise
> (1 4 3)(2)(5)(6)(7)(8)
Das kann nie das Inverse sein, weil [mm] \pi_{1} [/mm] 2 auf 8 abbildet. Die inverse Abb. muß das rückgängig machen!
Richtig ist [mm] \pi_{1}^{-1} [/mm] = (5)(6 7)(2 8)(1 4 3)
das sind die inversen der einzelnen Zyklen in umgekehrter Reihenfolge
(wg. [mm] (a*b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}*a^{-1} [/mm] in Gruppen)
> (b)
> [mm]\pi_{2}^{-1}[/mm]
>
> (4 1 7 8 3 2 5 6) o (4 1 7 8 3 2 5 6) = 8 4 5 6 7 1 3 2
> In Zylendarstellung:
> (1 8 2 4 6)(3 5 7)
Nein, muß heißen (3 5 7)(1 2 6 8 4)
> (c)
> [mm]\pi_{2}\circ\pi_{1}[/mm]
>
> (4 1 7 8 3 2 5 6) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 7 6 8 4 3 5 2 1
> In Zylendarstellung:
> (1 7 2 6 5 3 8)(4)
[mm] \pi_{2}\circ\pi_{1} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 [mm] 5)\circ(1 [/mm] 3 4)(2 8)(6 7)(5) = (1 7 2 6 5 3 1)(4)
Rezept: von rechts lesen und hinschreiben, d. h. 1 erst auf 3 und dann 3 auf 7, 7 auf 6 und dann auf 2 usw.
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ahrg ;)
Ich mag diese Permutationen nicht *g*
Ich dachte [mm] \pi [/mm] o [mm] \pi [/mm] ergibt invers :(
sozusagen wenn sich die permutation selbst verknüpft
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 16.05.2006 | | Autor: | statler |
> Ahrg ;)
>
> Ich mag diese Permutationen nicht *g*
Aber danach geht es leider nicht immer!
>
> Ich dachte [mm]\pi[/mm] o [mm]\pi[/mm] ergibt invers :(
> sozusagen wenn sich die permutation selbst verknüpft
[mm] \pi \circ \pi [/mm] gibt [mm] \pi^{2} [/mm] un nix anneres!
Gruß
Dieter
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Zuerst mal danke vielmals für deine Hilfe und Geduld :)
Aber es funktioniert auch so oder ?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 }
[/mm]
Und jetzt dreh ich das ganze um *g*
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 }
[/mm]
Orden das ganze
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 2 & 6 & 5 & 1 & 7 & 8 & 3 & 4}
[/mm]
Und jetzt noch die schöne Zyklusschreibweise?
(1 2 6 8 4)(3 5 7)
Vielleicht ein bisschen umständlich ;)
Mfg
Frankster
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 16.05.2006 | | Autor: | statler |
Mensch, ich bin echt stolz auf dich!
Dieter
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