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| Aufgabe | Es seien in [mm] S_5 [/mm] die Permutationen
[mm]
\delta :
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 1
\end {bmatrix}
und \rho:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 3 & 2 & 1 & 5
\end {bmatrix}
[/mm]
gegeben.
Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von [mm] \delta^5 \rho^3, \delta\rho [/mm] und [mm] \rho\delta. [/mm] |
So,
[mm] \delta [/mm] in Zykelschreibweise ist ja (12345) und [mm] \rho [/mm] ist (14) (23) (5)
Bei wiki stand dieses hoch 5 bei [mm] \delta, [/mm] bzw das hoch 3 bei [mm] \rho [/mm] heißt, dass die Permutationen so oft hintereinander ausgeführt werden. Ich hab mir deshalb folgendes überlegt:
[mm] \rho^2 [/mm] = (41) (32) (5)
[mm] \rho^3 [/mm] = (14) (23) (5)
und
[mm] \delta^2 [/mm] = (23451)
[mm] \delta^3 [/mm] = (34512)
[mm] \delta^4 [/mm] = (45123)
[mm] \delta^5 [/mm] = (51234)
Bin mir aber nicht sicher, ob ich dieses hoch 3 und hoch 5 richtig umgesetzt habe.
Die Verknüpfungen der beiden Permutationen hab ich mir an der Permutationsschreibweise verdeutlicht und dann in folgende Zykel umgeschrieben:
[mm] \delta\rho [/mm] = (15) (24) (3)
[mm] \rho\delta [/mm] = (13) (2) (45)
Glaube der Teil der Aufgabe stimmt.
Gruß almigthybald
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Hallo!
Du hast in den Aufgaben beim Hintereinanderausführen der gleichen Permutationen einen wesentlichen Fehler gemacht: Zum Beispiel beim Zykel (2 3). Du behauptest, dass (2 3) [mm] \circ [/mm] (2 3) = (3 2) wäre. Dem ist aber nicht so, denn du hast bloß die Reihenfolge innerhalb des Zykels um eins nach rechts verschoben, es wird aber bei dir weiterhin die 2 auf die 3 abgebildet und umgekehrt!
Richtig wäre es aber so:
(2 3) [mm] \circ [/mm] (2 3) = (2)(3) = id
denn: Betrachte den rechten Zykel. Er schickt die 2 auf die 3. Danach wird der linke Zykel "aktiviert" (Hintereinanderausführung), er schickt die 3 wieder auf die 2. Also schickt das gesamte Konstrukt die 2 wieder auf die 2. Genauso mit der 3.
> Es seien in [mm]S_5[/mm] die Permutationen
> [mm]
\delta :
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 1
\end {bmatrix}
und \rho:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 3 & 2 & 1 & 5
\end {bmatrix}
[/mm]
>
> gegeben.
> Bestimmen Sie die Zykelschreibweise von [mm]\delta^5 \rho^3, \delta\rho[/mm]
> und [mm]\rho\delta.[/mm]
> So,
>
> [mm]\delta[/mm] in Zykelschreibweise ist ja (12345) und [mm]\rho[/mm] ist
> (14) (23) (5)
>
> Bei wiki stand dieses hoch 5 bei [mm]\delta,[/mm] bzw das hoch 3 bei
> [mm]\rho[/mm] heißt, dass die Permutationen so oft hintereinander
> ausgeführt werden. Ich hab mir deshalb folgendes
> überlegt:
>
> [mm]\rho^2[/mm] = (41) (32) (5)
> [mm]\rho^3[/mm] = (14) (23) (5)
Siehe oben. Die richtigen Ergebnisse wären:
[mm] \rho [/mm] = (14) (23) (5)
[mm] \rho^{2} [/mm] = id
[mm] \rho^{3} [/mm] = [mm] \rho\circ [/mm] id = [mm] \rho.
[/mm]
> [mm]\delta^2[/mm] = (23451)
> [mm]\delta^3[/mm] = (34512)
> [mm]\delta^4[/mm] = (45123)
> [mm]\delta^5[/mm] = (51234)
Auch hier derselbe Fehler. Ich überlasse dir die Korrektur.
> Die Verknüpfungen der beiden Permutationen hab ich mir an
> der Permutationsschreibweise verdeutlicht und dann in
> folgende Zykel umgeschrieben:
>
> [mm]\delta\rho[/mm] = (15) (24) (3)
> [mm]\rho\delta[/mm] = (13) (2) (45)
Die sind richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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