Permutation einer Linearen Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:39 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | 3. Sei [mm] \sigma \in S_n [/mm] .
a) Zeigen Sie, dass es genau eine Q -lineare Abbildung [mm] L_{\sigma}: Q^n \to Q^n [/mm] gibt mit [mm] L{_\sigma} (e_i) [/mm] = [mm] e_{\sigma(i)} [/mm] , i = [mm] 1,\ldots,n.
[/mm]
b) Sei [mm] A_{{\sigma}} [/mm] die Matrix von [mm] L{{\sigma}} [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] Q^n [/mm] . Zeigen Sie [mm] sign(\sigma) [/mm] = [mm] det(A_{\sigma}). [/mm] |
Irgendwie bereitet mir diese Aufgabe Schwierigkeiten.
Also [mm] S_n:=\{f:\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}: bijektiv\}
[/mm]
Nun ist L eine lineare Abbildung.
Es gilt also:
L(v+v´)=L(v)+L(v') für [mm] v,v´\in [/mm] V
und
[mm] L(\lambda*v)=\lambda*L(v) [/mm] mit [mm] \lambda\in [/mm] K
Aber mit $ [mm] L{_\sigma} (e_i) [/mm] $ = e $ [mm] \sigma(i) [/mm] $ kann ich irgendwie nicht viel Anfangen.
Ich habe jetzt irgend eine Lineareabbildung [mm] L{_\sigma} (e_{i}). [/mm] Z.B. i=1
Dann wäre dass [mm] L{_\sigma} (e_1), [/mm] also [mm] L{_\sigma} [/mm] (1) = [mm] e_{\sigma(1)}.
[/mm]
Für ein Element gibt es aber nur eine Vertauschung also muss
[mm] L{_\sigma} [/mm] (1) = 1 gelten.
Also wäre dies doch einfach die Identitätsabbildung.
[mm] id_{\Q}(x)
[/mm]
Für n gleich zwei, erhalte ich [mm] S_2=\{f:\{1,2\}\to {1,2}: bijektiv\}=\{(1,2),(2,1)\}=\{id, (2,1)\}
[/mm]
Ich vermute deswegen dass die einzige Abbildung für die das gilt, eben die identische ist.
Ist i=3:
Dann habe ich
[mm] S_3=\{f:\{1,2,3\}\to {1,2,3}: bijektiv\}=\{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}=\{id,(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}
[/mm]
Dann gilt nämlich auch [mm] L\vektor{0 \\ 0 \\ 1}= e_{\sigma(3)}
[/mm]
Dann wäre ja
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
also [mm] \sigma(3) [/mm] = 3
[mm] L\vektor{0 \\ 0 \\ 1}= e_{\sigma(3)} [/mm] = [mm] e_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Allerdings bin ich mir unsicher ob ich überhaupt [mm] L{_\sigma} (e_i) [/mm] = [mm] e_{\sigma(i)} [/mm] richtig verstehe.
Ich meine eine Permutation ist nicht eindeutig. [mm] \sigma(n) [/mm] kann alles annehmen. Es ist also doch schier unmöglich eine Lineare Abbildung zu finden, wofür die Gleichheit stets gilt.
Die Identität ist natürlich in allen [mm] S_n [/mm] enthalten.
Ich habe allerdings das Gefühl, dass dies nicht wirklich korrekt ist. Muss das nicht für jedes beliebige [mm] \sigma(i) [/mm] gelten ?
Kann mir jemand weiterhelfen ?
Ich hab echt keine Ahnung was mir die Aufgabe sagen soll.
Mfg. Nyuu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Ich vermute, dass mit [mm] \{e_1,e_2,...,e_n\} [/mm] die Standardbasis des [mm] \IQ^n [/mm] gemeint ist.
2. Ich zeig Dir mal, wie das im Falle n=3 gemeint ist. Sei $ [mm] \sigma \in S_3 [/mm] $, etwa
[mm] \sigma(1)=3, \sigma(2)=1, \sigma(3)=2.
[/mm]
Zeigen sollst Du: es gibt genau eine [mm] \IQ [/mm] -lineare Abbildung $ [mm] L_{\sigma}: \IQ^3 \to\I Q^3 [/mm] $ mit
[mm] L(e_1)=e_3, L(e_2)=e_1 [/mm] und [mm] L(e_3)=e_2.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:23 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Nyuu |
> 1. Ich vermute, dass mit [mm]\{e_1,e_2,...,e_n\}[/mm] die
> Standardbasis des [mm]\IQ^n[/mm] gemeint ist.
>
> 2. Ich zeig Dir mal, wie das im Falle n=3 gemeint ist. Sei
> [mm]\sigma \in S_3 [/mm], etwa
>
> [mm]\sigma(1)=3, \sigma(2)=1, \sigma(3)=2.[/mm]
>
> Zeigen sollst Du: es gibt genau eine [mm]\IQ[/mm] -lineare Abbildung
> [mm]L_{\sigma}: \IQ^3 \to\I Q^3[/mm] mit
>
> [mm]L(e_1)=e_3, L(e_2)=e_1[/mm] und [mm]L(e_3)=e_2.[/mm]
>
> FRED
Hi vielen dank fred.
Ich habe schonmal herausgefunden, dass es tatsächlich immer genau eine Abbildung gibt.
Dies ist jedesmal die Einheitsmatrix I. Je nachdem welche Zeile mit welcher vertauscht wird, nimmt sie natürlich eine etwas abgewandelte Form an.
Für die identitätsabbildung ist es aber grade die normale Einheitsmatrix:
I:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & \ldots & 0 \\0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\0 & 0 & \ldots & 1}
[/mm]
Die Frage ist natürlich nun wieso es grade nur diese Lösung gibt. Das habe ich ja zu zeigen.
Ich bin mir nur noch nicht ganz sicher wie ich überhaupt anfangen soll.
Also die Lineare Abbildung bildet jeden Einheitsvektor auf ein jeweils anderen ab.
Die dim(Im(L)) ist also gleich n.
Also muss auch meine Lineare Abbildung L eine Dimension von n haben.
Alle Matrizen mit einem Kern [mm] \not= \{0\} [/mm] scheiden also aus. Die Matrix muss eindeutig lösbar sein.
Also müssen die Vektoren ebenfalls linear unabhängig sein. Das muss auch so sein, immerhin muss ich ja quasi
Ich bin noch etwas ratlos :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 22.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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