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| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
sind:
a) det(A) = 0;
b) es gibt eine Matrix B [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) mit B [mm] \not= [/mm] 0 und AB = 0. |
Hallo, ich weiß, dass ich hier die Äquivalenz in beide Richtungen beweisen muss_aber kann mir jemand sagen, was die Bedingungen a) und b) bedeuten, damit ich einen Ansatz finde?
Danke.
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Die Bedingung
a) [mm]\det(A) = 0[/mm]
bedeutet, dass die Determinante der Matrix A 0 sein soll. D.h. (nach Definition der Determinante), dass die Zeilen / Spalten in der Matrix A linear abhängig sind, also mindestens eine Zeile mit elementaren Zeilen / Spalten-umformungen zu einer Nullzeile gemacht werden kann.
b) Es existiert eine Matrix B [mm] \in \IK^{n\times n}, [/mm] B [mm] \ne [/mm] 0, sodass AB = 0.
Diese Aussage bedeutet, ich finde eine Matrix B (ungleich der Nullmatrix), sodass das Produkt AB die Nullmatrix ergibt.
Zum Beweis:
Mein erster Ansatz wäre gewesen, über die elementaren Zeilen / Spaltenumformungen zu gehen. Diese elementaren Umformungen lassen sich nämlich als Matrizen darstellen. (D.h. wenn du A mit einer solchen Umformungs-Matrix multiplizierst, ist in der Ergebnismatrix A die Umformungen geschehen). Diese Umformungsmatrizen sind regulär. So kannst du eine Matrix C finden, sodass
AC
eine Nullzeile hat. (Wenn du also mit Bedingung a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) beginnst).
Dann musst du nur noch eine Matrix D finden, die bei Multiplikation mit AC alle Zeilen 0 setzt außer die, die sowieso schon 0 sind. Dann kommt die Nullmatrix heraus und deine gesuchte Matrix B hat die Form
B = [mm] \underbrace{C}_{Unmformungen}\underbrace{D}_{AlleZeilenAusserDieNullzeile0setzen}.
[/mm]
Andersrum funktioniert es ähnlich, da solltest du dann mit Zeilenumformungen o.ä. die Matrix auf Zeilenstufenform bringen und etwas über die Determinante aussagen.
Ich weiß nicht, ob das der beste Lösungsweg ist, es gibt sicher auch noch andere.
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| Aufgabe | Danke erstmal, ich finde den Ansatz sehr gut erklärt_
Dass meine Matrix A lin.abh. ist und somit eine Nullzeile enthält ist ja klar. Aber wie soll ich dann eine Matrix C "finden" bzw. definieren? Und wozu brauch ich dann noch eine Matrix D? Denn wenn ich schon A*C = 0 habe, dann brauch ich doch dieses Produkt einfach nur noch mit der B multiplizieren, dann bin ich fertig, oder? |
Danke.
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Ich werde die Antwort am Ende auf Halb-Beantwortet setzen, da es wie gesagt vielleicht noch wesentlich bessere Ansätze zur Lösung deiner Aufgabe gibt.
> Dass meine Matrix A lin.abh. ist und somit eine Nullzeile
> enthält ist ja klar. Aber wie soll ich dann eine Matrix C
> "finden" bzw. definieren?
Das brauchst du nicht. Wir führen einen "destruktiven" Beweis, d.h. wir müssen nur zeigen dass eine solche Matrix existiert, nicht ihr Aussehen angeben. Das sie existiert ist klar denn jede Matrix lässt sich mit elementaren Spaltenumformungen auf "Spalten"-stufenform bringen. (Hab nochmal nachgeguckt, wir müssen mit Spaltenumformungen arbeiten, da nur die mit einer rechtsseitigen Multiplikation wie gefordert erreicht werden können). Was noch zu zeigen ist, ist ob die entstehende Matrix linear unabhängig Zeilen hat, also selbst regulär ist. Denn erst damit wirst du dann im Folgenden argumentieren können, dass die entstehende Matrix B = CD nicht die Nullmatrix ist.
> Und wozu brauch ich dann noch
> eine Matrix D? Denn wenn ich schon A*C = 0 habe, dann
> brauch ich doch dieses Produkt einfach nur noch mit der B
> multiplizieren, dann bin ich fertig, oder?
Mit C bezeichnen wir nur die Matrix, die die Matrix A beim Multiplizieren auf Spaltenstufenform bringt und damit entsprechend die Nullzeilen in den unteren Zeilen produziert. Wir brauchen nun noch eine Matrix D die das Ergebnis von AC zu einer Nullmatrix macht (Denn das ist ja die zweite Bedingung). Du musst dann noch begründen, dass mit diesem Vorgehen die Matrix B = CD nicht die Nullmatrix sein kann. Ein kleines Beispiel:
[mm]\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 }}_{A} * \underbrace{\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }}_{C, die Umformungsmatrix} * \underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }}_{D, die Nullmachmatrix}}_{B} = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Hier ist B also:
[mm]\underbrace{\underbrace{\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }}_{C, die Umformungsmatrix} * \underbrace{\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }}_{D, die Nullmachmatrix}}_{B} = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm]
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| Aufgabe | | Ja gut, bis dahin alles verstanden_nur: Wie kann ich denn zeigen, dass das dann auch lin. unabh. ist? Also dass C*D nicht 0 ergibt? |
Danke.
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Willst du nicht auch noch ein bisschen überlegen? 
Sicher habt ihr einen Satz der Form gehabt: "Das Produkt regulärer Matrizen ist wieder regulär" oder "Wenn A und B intervertierbar sind, dann ist auch (AB) invertierbar und es gilt [mm] (AB)^{-1} [/mm] = [mm] B^{-1}A^{-1}".
[/mm]
Das heißt, dass alle Spaltenumformungen multipliziert trotzdem eine reguläre Matrix produzieren. D.h. C ist regulär, hat also keine Nullzeile. Reguläre Matrizen sind bijektiv, und somit ist CD sicher nicht die Nullmatrix da schon C0 die Nullmatrix ist.
Da gibt es sicher noch elegantere Begründungen, zumal ich nicht weiß ob ihr lineare Abbildungen zusammen mit Matrizen schon hattet. Deswegen lasse ich die Antwort mal halb-offen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Mo 26.05.2008 | | Autor: | DoktorQuagga |
| Aufgabe | | Ja gut, bis dahin alles verstanden_nur: Wie kann ich denn zeigen, dass das dann auch lin. unabh. ist? Also dass C*D nicht 0 ergibt? |
Danke...
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Es reicht doch schon zu zeigen dass CD nicht die Nullmatrix ist, denn nur das ist gefordert! CD muss nicht regulär sein, d.h. auch die Zeilen/Spalten müssen nicht alle linear unabhängig sein.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:10 Mo 26.05.2008 | | Autor: | DoktorQuagga |
| Aufgabe | Es reicht doch schon zu zeigen dass CD nicht die Nullmatrix ist, denn nur das ist gefordert! CD muss nicht regulär sein, d.h. auch die Zeilen/Spalten müssen nicht alle linear unabhängig sein.
Die Frage ist ja: WIE zeige ich, dass das NICHT die Nullmatrix ist? |
Danke.
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Eine Möglichkeit, bei der ich mir aber noch nicht ganz sicher bin, habe ich dir schon gezeigt:
C ist regulär, beschreibt also eine bijektive lineare Abbildung. Wenn nun C0 schon die Nullmatrix ergibt, kann CD (wobei D [mm] \ne [/mm] 0) doch nicht auch die Nullmatrix ergeben!
Wenn dir das noch nicht gefällt bzw. du damit nichts anfangen kannst, weil ihr Teile davon noch nicht gehabt habt, solltest du vielleicht die Frage extra in einem neuen Thread stellen, dann werden sich das mehr ansehen als wenn schon soviel in einem Thread steht. Du solltest also fragen:
Wieso gilt für C regulär und D [mm] \ne [/mm] 0: CD [mm] \ne [/mm] 0 ?
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Angela hat dir ja auf deine extra gestellte Frage nun geantwortet (ein hübscher kleiner Widerspruchsbeweis, wie er mir nicht in den Sinn gekommen ist!);
Der Beweis a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) ist nun abgeschlossen, du solltest aber bedenken, dass du auch die Rückrichtung zeigen musst, d.h. das aus b) a) folgt. (Außer natürlich du kannst alle Aussagen irgendwie äquivalent machen, was aber glaub ich hier nicht so gut geht)
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