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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 20.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Berechne [mm] sign(\pi):
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3} [/mm] |
Hab mal ne Frage zu den Fehlständen. Wir haben in der Vorlesung die Formel 2(j-i-1)+1 für die Anzahl von Fehlständen für eine Transposition raus.
Bezogen auf das Beispiel :
(1 2 4 3) = (1 2)(2 4)(4 3)
--> Formel: 2(2-1-1)+1=1
und 2(4-2-1)+1=3
summe: 4 Fehlstände, laut Buch sind es aber nur drei....
Kann mir das jemand erklären?
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> Berechne [mm]sign(\pi):[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3}[/mm]
> Hab mal ne Frage
> zu den Fehlständen. Wir haben in der Vorlesung die Formel
> 2(j-i-1)+1 für die Anzahl von Fehlständen für eine
> Transposition raus.
> Bezogen auf das Beispiel :
> (1 2 4 3) = (1 2)(2 4)(4 3)
Hier reicht es doch vollkommen aus:
3 Transpositionen, wobei jede Transposition Vorzeichen -1 hat.
Macht also [mm] $(-1)^3=-1$
[/mm]
Die Fehlstände kannst du auch durchzählen
(1,2) -> (2,4) kein Fehlstand
(1,3) -> (2,1) Fehlstand
(1,4) -> (2,3) kein Fehlstand
(2,3) -> (4,1) Fehlstand
(2,4) -> (4,3) Fehlstand
(3,4) -> (1,3) kein Fehlstand
Außerdem ist doch
2(2-1-1)+1 = 1
2(4-2-1)+1 = 3
2(4-3-1)+1 = 1
edit: keine disjunkten Transpositionen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 20.11.2011 | | Autor: | rollroll |
1. Weshalb hat jede Transposition Vorzeichen -1?
2. Mir ist klar, dass ich die Fehlstände durchzählen kann, dies ist aber bei ,,großen'' Permutationen sehr umständlich...
Deshalb will ich das ja mit der Formel lösen.
3. zudem hast du geschrieben:
>2(4-3-1)+1 = 1
Hier ist die Formel doch falsch angewandt: 2(3-4-1)+1 wäre richtig , macht aber keinen Sinn, da i>j
4. Ist laut Formel sign = (-1) hoch die Anzahl der Felstände, du hats hoch 5 geschrieben, dabei gibt es doch nur 3 Fehlstände...
--> Ich verstehe also immernoch nicht, was ich bei meiner Berechnung der ANZAHL der Fehlstände falsch gemacht hab...
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> 1. Weshalb hat jede Transposition Vorzeichen -1?
http://de.wikiversity.org/wiki/Permutation/Signum_%C3%BCber_Transpositionen/Fakt_Beweis
> 2. Mir ist klar, dass ich die Fehlstände durchzählen
> kann, dies ist aber bei ,,großen'' Permutationen sehr
> umständlich...
> Deshalb will ich das ja mit der Formel lösen.
> 3. zudem hast du geschrieben:
> >2(4-3-1)+1 = 1
> Hier ist die Formel doch falsch angewandt: 2(3-4-1)+1 wäre
> richtig , macht aber keinen Sinn, da i>j
Du wolltest doch alle Transpositionen betrachten oder?
> 4. Ist laut Formel sign = (-1) hoch die Anzahl der
> Felstände, du hats hoch 5 geschrieben, dabei gibt es doch
> nur 3 Fehlstände...
> --> Ich verstehe also immernoch nicht, was ich bei meiner
> Berechnung der ANZAHL der Fehlstände falsch gemacht hab...
Hier hab ich es wirklich verbockt.Sorry.
Natürlich kannst du
(1 2 4 3) = (1 2)(2 4)(4 3)
schreiben. Es gilt aber auch
(1 2 4 3) = (1 2)(2 4)(4 3)(4 3)(4 3)
Damit könntest du dir doch immer mehr Fehlstände konstruieren. Mit der Formel erhälst du also die Fehlstände der Transpositionen einzlen betrachtet. Deine Zykelzerlegung ist aber NICHT disjunkt.
Lösung wäre also:
[mm] $\sigma$=(1 [/mm] 2 4 3) = (1 2)(2 4)(4 3)
Signum einer Transpostion ist -1 => [mm] $sgn(\sigma)=(-1)^3=-1$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Sorry, hab's immernoch nicht verstanden...
Es gibt doch nur bei (1 2) und (2 4) überhaupt Fehlstände. (4 3) hat ja gar keinen, da die Bedingung i<j nicht erfüllt ist.
Wenn ich jetzt die Formel anwende 2(j-i-1)+1
, von (1 2) und (2 4) Fehlstände ausrechne, komme ich aber insgesamt auf 4 (1+3) Stück....
Wo ist denn mein Denkfehler??
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> Sorry, hab's immernoch nicht verstanden...
>
> Es gibt doch nur bei (1 2) und (2 4) überhaupt
> Fehlstände. (4 3) hat ja gar keinen, da die Bedingung i<j nicht erfüllt ist.
>
Es gilt doch (34)=(43)
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