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Forum "Kombinatorik" - Permutationen, Zykel
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Permutationen, Zykel: Beweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 So 27.03.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Man zeige:

1) [mm] $\forall \sigma, \tau \in S_n: typ(\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \typ(\tau \circ \sigma)$, [/mm] wobei $typ$ der Zykeltyp der Permutation ist.

2) [mm] $\sigma, \tau \in S_n [/mm] sind genau dann konjugiert zueinander, wenn [mm] $typ(\sigma)=typ(\tau)$. [/mm] Konjugiert zueinander heißt: Es existiert ein [mm] $\pi \in S_n$ [/mm] mit [mm] $\tau [/mm] = [mm] \pi \circ \sigma \circ \pi^{-1}$. [/mm]


Hallo,

ich habe diese Aussagen auf Wikipedia gefunden, aber nirgends einen für mich verständlichen Beweis.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Permutationen, Zykel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 So 27.03.2016
Autor: UniversellesObjekt

Sei $c$ ein Zykel und [mm] $\pi$ [/mm] eine Permutation. Berechne zunächst [mm] $\pi c\pi^{-1}$. [/mm] (Du weißt ja ungefähr, was rauskommen soll, solange die Behauptung stimmt.) Schaue dir auch Beispiele an.

Folgere hieraus 2) für den Fall von Zykeln.

Folgere nun, dass allgemein konjugierte Permutationen denselben Typ haben. (Konjugation ist ein Automorphismus, insbesondere vertraglich mit Produkten.)

Folgere hieraus 1).

Mithilfe unserer Überlegung vom Anfang überlege dir nun die Umkehrung von 2), indem du induktiv nach der Anzahl der Zykeln in einer Zerlegung vorgehst.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Permutationen, Zykel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:50 So 27.03.2016
Autor: sandroid


Danke für deine Bemühung, mir zu helfen!

Was ist denn bei dir $ [mm] \pi c\pi^{-1} [/mm] $? Wie verknüpfst du einen einzelnen Zykel mit einer gnzen Permutation? Meinst du, dass $c$ hier die Permutation ist, die nur aus dem einen Zykel und sonst nur Einzykeln besteht?

Aber auch dann weiß ich nicht, was da heraus kommen soll. Ich habe mir auch ein Beispiel durchgerechnet und sehe da kein besonderes Muster oder so.


Bezug
                        
Bezug
Permutationen, Zykel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 30.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Permutationen, Zykel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Do 31.03.2016
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

verzeihe bitte die späte Antwort, aber ich hatte die letzten Tage keinen Computer.

Zunächst: Ja, das meine ich. Für gewöhnlich versteht man unter dem Zykel [mm] $(a_1,\dots,a_m)\in S_n$ [/mm] denjenigen Zykel, der [mm] $a_i\longmapsto a_{i+1}$ [/mm] abbildet (der Index modulo $m$) und alle übrigen Elemente fix lässt. Hierbei steckt natürlich etwas Notationsmissbrauch mit drin, weil nicht klar ist, als Element welcher [mm] $S_n$ [/mm] (das heißt für welches $n$) man den Zykel betrachtet, aber meistens schadet das nicht.

Man stellt dann fest, dass [mm] $\pi (a_1,\dots,a_m)\pi^{-1}=(\pi(a_1),\dots,\pi(a_m))$ [/mm] gilt. Also bleibt zumindest für Zykeln der Zykeltyp bei Konjugation erhalten.

Dann ist es aber auch für Produkte von Zykeln der Fall, da [mm] $\pi cd\pi^{-1}=(\pi c\pi^{-1})(\pi d\pi^{-1})$. [/mm]

Wie man hieraus die Aussage 1) folgert, hast du richtig festgestellt.

Sind $c$ und $d$ Zykel derselben Länge, so sind sie konjugiert, da du mit einer Permutation konjugieren kannst, welche die Einträge von $c$ mit den Einträgen von $d$ vertauscht (das ist wieder die Formel vom Anfang).

Nun seien [mm] $c_i,d_i$ [/mm] jeweils Zykel derselben Länge, untereinander jeweils alle disjunkt, sodass also [mm] $c_1\dots c_n$ [/mm] und [mm] $d_1\dots d_n$ [/mm] denselben Typ haben.

Dann konjugiere das erste Produkt mit einer Permutation so, dass [mm] $\pi c_1\pi^{-1}=d_1$. [/mm] Das Produkt wird dann zu [mm] $d_1(\pi c_2\pi^{-1})\dots(\pi c_n\pi^{-1})$. [/mm] Die Faktoren nach [mm] $d_1$ [/mm] sind wieder Zykel jeweils derselben Länge wie die [mm] $d_i$. [/mm] Die Zykel im Produkt sind immernoch disjunkt. Nun kannst du wieder Konjugieren (mit einer Permutation, welche die Einträge von [mm] $d_1$ [/mm] fix lässt), um den zweiten Faktor zu [mm] $d_2$ [/mm] abzuwandeln. So kann man fortfahren, bis man eine Reihe von Konjugationen ausgeführt hat, um zu [mm] $d_1\dots d_n$ [/mm] zu geraten.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Permutationen, Zykel: Lösungsvorschlag
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:08 So 27.03.2016
Autor: sandroid

Hallo,

ich fand nun zu 2) einen Beweis, den ich auch verstehe:

http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/39613.pdf

Siehe das "Theorem 2" dort.

Und nun wüsste ich gerne, ob ich aus 2) nun 1) wie folgt folgern darf:

[mm] $\sigma, \tau \in S_n$ [/mm] beliebig. Setze [mm] $\pi [/mm] := [mm] \tau^{-1}$. [/mm] Dann gilt: [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \sigma \Rightarrow \sigma \circ [/mm] Id = Id [mm] \circ \sigma \Rightarrow \sigma \circ \tau \circ \pi [/mm] = [mm] \pi \circ \tau \circ \sigma \Rightarrow \sigma \circ \tau [/mm] = [mm] \pi \circ \tau \circ \sigma \circ \pi^{-1}$ [/mm]

Also sind [mm] $\sigma \circ \tau$ [/mm] und [mm] $\tau \circ \sigma$ [/mm] zueinander konjugiert und haben nach 1) den selben Zykeltyp.

Ist das richtig?

@UniversellesObjekt: Ich bin trotzdem gerne weiter interessiert an deinem Lösungsvorschlag.

Bezug
                
Bezug
Permutationen, Zykel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 30.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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