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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 09.11.2014 | | Autor: | Sykora |
| Aufgabe | Wir betrachten einen regulären Tetraeder, d.h. einen Tetraeder T, in dem alle Seiten dieselbe Länge haben. Seiene Eckpunkte seien mit 1,2,3,4 bezeichnet. Wir betrachten im Folgenden Drehungen und Spiegelungen, die den Tetraeder T in sich überführen.
Bestimmen Sie alle Permutationen der Eckpunkte von T, die durch solche Spiegelungen und Drehungen hervorgerufen werden, welche T in sich selbst überführen. Geben sie dabei jeweils die Spiegelungsebene bzw. die Drehachse an. |
Ich habe mir nun ein Tetraeder aufgezeichnet, welches die Eckpunkte 1,2,3,4 besitzt.
Nun wollte ich wissen, welche Möglichkeiten es gibt, das Tetraeder zu drehen bzw. spiegeln, so dass T in sich selbst überführt wird.
Das sieht in etwa so aus: 1. .2
3. .4
Meine bisherigen Drehungen/Spiegelungen:
Spiegelung um die Gerade durch 1,4
Spiegelung um die Gerade durch 3,2
Spiegelung um die Gerade durch die Mittelpunkte der Strecke 1,3 und 2,4
Spiegelung um die Gerade durch die Mittelpunkte der Strecke 1,2 und 3,4
Was habe ich hier noch vergessen?
Und darf man die Punkte einfach vertauschen, wie z.B. zu
3. .1
4. .2
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> Wir betrachten einen regulären Tetraeder, d.h. einen
> Tetraeder T, in dem alle Seiten dieselbe Länge haben.
> Seiene Eckpunkte seien mit 1,2,3,4 bezeichnet. Wir
> betrachten im Folgenden Drehungen und Spiegelungen, die den
> Tetraeder T in sich überführen.
>
> Bestimmen Sie alle Permutationen der Eckpunkte von T, die
> durch solche Spiegelungen und Drehungen hervorgerufen
> werden, welche T in sich selbst überführen. Geben sie
> dabei jeweils die Spiegelungsebene bzw. die Drehachse an.
> Ich habe mir nun ein Tetraeder aufgezeichnet, welches die
> Eckpunkte 1,2,3,4 besitzt.
> Nun wollte ich wissen, welche Möglichkeiten es gibt, das
> Tetraeder zu drehen bzw. spiegeln, so dass T in sich selbst
> überführt wird.
>
> Das sieht in etwa so aus:
> 1. .2
>
> 3. .4
>
>
> Meine bisherigen Drehungen/Spiegelungen:
>
> Spiegelung um die Gerade durch 1,4 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Spiegelung um eine Gerade ?
Was soll das sein ?
In der Aufgabe sind Spiegelungen an Ebenen gemeint.
Man könnte zwar auch Spiegelungen an Geraden (nicht "um" Geraden)
betrachten, aber jede solche Spiegelung kann auch als
Drehung um die besagte Gerade um den Drehwinkel 180°
beschrieben werden.
Benütze also nur Spiegelungen an Ebenen und
Drehungen um bestimmte Drehachsen, jeweils
mit zugehörigem Drehwinkel.
> Und darf man die Punkte einfach vertauschen, wie z.B. zu
>
> 3. .1
>
> 4. .2
Ja, genau dies ist ja mit "Permutation der Eckpunkte" auch
gemeint. Tatsächlich lässt sich jede der möglichen Permu-
tationen der Folge <1,2,3,4> durch eine entsprechende
geometrische Abbildung eines regelmäßigen Tetraeders
auf sich selber darstellen. Diese Selbstabbildungen ("selfies" ...  )
sind geometrisch gesehen ![[]](/images/popup.gif) "Bewegungen"
Um sicher zu sein, ob du alle Möglichkeiten erfasst
hast: es muss gerade so viele geben wie die Anzahl
der Permutationen der 4 Eckpunkte.
LG , Al-Chwarizmi
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