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| Aufgabe | | Facharbeit zum Thema:"Endliche Gruppen bis zur Ordnung 8" |
Hi ihr.
Ich muss eine Facharbeit über endliche Gruppen schreiben und bin dabei auf das Problem gestoßen, dass ich nicht weiß, was genau der Unterschied zwischen einer Permutations- und einer Symmetrischen Gruppe ist. Ich habe zwar rausgefunden, dass Permutationsgruppen Untergruppen der Symmetriegruppen sind, weiß aber sonst nicht, was der Zusammenhang ist.Vielleicht könnt ihr mir ja helfen  .
Danke schon mal.
Miezekatze
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. *
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Ja, aber mein Problem ist, dass ich da den Übergang nicht so ganz verstehe und mir nicht vorstellen kann. Wie kann denn eine Gruppe von Permutationen (also eine Gruppe von Vertauschungen) eine Untergruppe und somit ein Teil einer Gruppe von Symmetrien eines Körpers sein? Das sind doch völlig verschiedene Dinge, oder? Denk ich da jetzt falsch?
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Oh. Stimmt, das war mein Problem. Danke dafür schonmal  . Aber jetzt muss ich doch nochmal genau nachfragen: hat eine symmetrische Gruppe dann gar nichts mit Symmetrien zu tun? Wie muss ich mir die denn dann vorstellen?
Liebe Grüße
Miezekatze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 17.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
naja, die symmetrische gruppe hat schon etwas mit symmetrien zu tuen, der name ist aber eher historisch bedingt und kommt von den sogenannten "symmetrischen funktionen". das sind funktionen in $n$ variablen, die unter der wirkung der symmetrischen gruppe immer das selbe ergebnis liefern, also
$ [mm] f(x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] = [mm] f(x_{\sigma (1)}, x_{\sigma (2)}, [/mm] ..., [mm] x_{\sigma (n)})$ [/mm] für alle [mm] $\sigma \in [/mm] S_$.
mit den symmetrien geometrischer objekte hat der name erstmal nicht soviel zu tuen. (allerdings ist natürlich nach dem satz von cayley jede symmetriegruppe isomorph zu einer untergruppe einer symmetrischen gruppe).
grüße
andreas
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Hi.
Ich habe mich jetzt zu den Permutationsgruppen und symmetrischen Gruppen weiter eingelesen und habe in dem Buch "Algebra" von Ernst Kunz festgestellt, dass dieser Permutationsgruppen mit symmetrischen Gruppen gleichsetzt. So schreibt er zum Beispiel:"An speziellen Gruppen trat nur die Permutationsgruppe n-ten Grades (symmetrische Gruppe) auf, ..." . Aber ich dachte schon, dass die beiden Gruppen sich unterscheiden. Oder tun sie das doch nicht?
Liebe Grüße.
Miezekatze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
das ist natürlich definitionssache. aber in der regel bezeichnet man alle untergruppen symmetrischer gruppen als permutationsgruppen, so wie es in dem weiter oben verlinkten wikipedia-artikel beschrieben ist. allerdings kann das bei manchen autoren auch davon abweichen, da muss man dann eben sehen, wie das in dem speziellen fall definiert ist.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Di 18.09.2007 | | Autor: | Miezekatze |
Gut. Dann werd ich nochmal ein paar Bücher dazu wälzen und im Internet schaun, ob ich noch mehr dazu finde. Danke schonmal.
Gruß, Miezekatze
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