Phasengang im Bodediagramm < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 12.01.2013 | | Autor: | robbi |
| Aufgabe | Hallo,
ich versuche schon eine ganze weile das Problem zu lösen, aber leider kommt ich nicht auf eine Antwort.
Die Aufgabe:
Übertragungsfunktion: 1/((1+0,5p)(1+5p)(1+10p)
wird mit PI-Regler geschlossen G(p)=KR/pTn * (1+pTn)
- die größte Streckenzeitkonstante soll kompensiert werden
- das Bodediagramm der offenen Kette für KR=1 zeichnen und Reglerverstärkung so ermitteln, dass sich eine Phasenreserve von 45° einstellt.
- Welche Durchtrittsfrequenz lässt sich so einstellen? |
Lösung
Die Führungsübertragungsfunktion G0=Gr*Gs = Kr/(10+55p²+25p³)
damit ergeben sich die Polstellen: p1=0, p2=-0,2 p3=-2
Also ergibt sich für die erste Knickfrequenz w1=10^-1 w2=10^-0,7 [mm] w3=10^0,3
[/mm]
Ich weiß, dass ich den Amplitudengang mit -20dB pro Dekade einzeichne, aber leider weiß ich nicht,wie man den Phasengang einzeichnet. Woher weiß ich denn, um wie viel Grad die Geraden steigen oder fallen und bei wie viel rad/s ich damit anfangen soll.
Und wie berechne die Reglerverstärkung, dass sich eine Phasenreserve von 45° einstellt?
Ich hab mir schon einige andere Bodediagramme angeschaut, aber irgendwie ergibt sich dabei für mich einfach nicht, wie wir auf die Verschiedenen Winkel gekommen sind.
Ich danke euch jetzt schon mal für eure Hilfe.
Freundliche Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 So 13.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo robbi,
willkommen hier im Forum.
Zu Deiner Aufgabe kann ich ein paar Tipps geben, die man bei so einem Bode-Diagramm normalerweise anwendet.
Einmal besteht natürlich die Möglichkeit, gerade heutzutage, wo Rechner vorhanden sind, die Charakteristik Punkt für Punkt auszurechnen. Als ich vor fast 30 Jahren die Vorlesungen zur Regelungstechnik hörte, hätte man dieses Vorgehen für solche Übertragungsfunktionen, wie Du sie hier erwähnst, kaum machen können (Fortran-Programm schreiben, auf Lochkarten stanzen, Rechenzeit im Rechenzentrum beantragen und einen Batch-Job abschicken). Es gibt deswegen eine Approximation, die auch noch heute eingesetzt wird und für den Betragsverlauf hast Du sie auch schon erwähnt.
Was macht man? Man nimmt die Gesamtübertragungsfunktion (meist eine gebrochen rationale Funktion in p) und teilt sie in Terme der Form [mm] 1 + pT [/mm] (Typ A) bzw. [mm] \bruch{1}{1+pT} [/mm] (Typ B) auf.
Das wurde bei Dir schon gemacht, insofern lasse die Terme so stehen, wie sie sind, multipliziere sie nicht aus, denn Du brauchst später die Nullstellen der einzelnen Faktoren und die kannst Du direkt aus solchen Termen ablesen.
Was hat man damit? Nun, man hat eine Verkettung, sprich Hintereinanderschaltung, von PD-Gliedern (Typ A) und PT1-Gliedern (Typ B) und das erleichtert sehr die folgende Approximation.
Rechne nun zu all diesen Termen die Knickfrequenzen aus und sortiere sie der Größe nach. Was passiert nun bei solch einer Knickfrequenz? Für den Betrag hast Du die Antwort schon gegeben. Für beide Typen von Gliedern, Typ A und Typ B, ändert sich bei der Knickfrequenz die Dämpfung um 20 dB pro Dekade. Bei Typ A nimmt die Dämpfung ab, bei Typ B zu. Gehe jetzt einfach die Reihenfolge einer Knickfrequenzen ab. Die Dämpfung ist zunächst konstant, wenn Du zu eiener Knickfrequenz kommst, die zum Typ A gehört, nimmt die Dämpfung um 20 dB pro Dekade ab, gehört diese Knickfrequenz zum Typ B, so nimmt sie um 20 dB pro Dekade zu.
Damit ist das Betragsdiagramm recht schnell hinzumalen.
Was macht man nun mit der Phase? Für jedes dieser Glieder würde die Phase den Wertebereich von 0 bis 90 Grad bzw. von 0 bis -90 Grad durchlaufen. Das ist nicht gerade sehr schön für eine zeichnerische Lösung im Bodediagramm. Deswegen gibt es verschiedene Approximationen, die gebräuchlichste ist die, dass bei einer Knickfrequenz die Phasenänderung auf +45 Grad bzw. - 45 Grad gesetzt wird und man eine Gerade ansetzt mit einem Gefälle bzw. einer Steigung von 90 Grad über zwei Dekaden (eine rechts von der Knickfrequenz, eine links davon) und ansonsten die Phase konstant lässt. Das ist natürlich nicht ganz korrekt, aber der Fehler ist kleiner als 5%, damit kann man leben. Schau mal nach, ob bei Deiner Aufgabe auch so vorgegangen wurde.
Viele Grüße,
Infinit
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