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Forum "Signaltheorie" - Phasenmodulation/nichtlin Syst
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Phasenmodulation/nichtlin Syst: Ideen/Diskussion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 So 15.02.2015
Autor: LoKiaK

Hallo,
Ich hab folgendes Verständnisproblem: Aus einigen papern (siehe unten) entnehme ich, dass man für phasenmodulierte Signale [mm] m(x)=sin(2\pi/\lambda*f(x)) [/mm] keine Übertragungsfunktion angeben kann, da ein System für ein solches Eingangssignal nichtlinear reagiert. Die Begründung soll sein, dass das Spektrum von m(x) mit [mm] f(x)=a*cos(2\pi/\lambda_{x}*x(x)) [/mm] im Allgemeinen höhere Harmonische aufweist, also nicht nur die [mm] 0\pm1ste [/mm] Komponente wie sie bei einem amplitudenmodulierten Signal [mm] n(x)=b*sin(2\pi/\lambda*x) [/mm] vorkommt. Dies führt dann bei einer Tiefpassfilterung dazu, dass das Ausgangssignal m'(x) verzerrt wird.
Warum kann man nicht weiterhin das Verhältnis von Eingangs- und Ausgangssignal als Übertragungsfunktion verstehen, wobei die Übertragungsfunktion dann von einem weiteren Parameter a abhängig sein müsste, also H(f,a). H(f,a) kann doch eine lineare Funktion sein, die nun einfach von zwei Parametern abhängt, sodass jede Komponente des Eingangssignals abhängig von der Amplitude bzw der Frequenz linear abbgebildet (Stauchen/Strecken) wird. Der Zusammenhang zwischen m(x) und f(x) ist ganz sicher nichtlinear, aber das muss doch nicht zwangläufig auch zwischen m(x) und m'(x) bzw. f(x) und f'(x) gelten. Die Grundvoraussetzung für die Linearität ist doch die, dass man ein beliebiges Signal in seine Elementarsignale (Dirac oder Harmonische) zerlegt, und das Übertragungsverhalten des Systems für jede dieser Komponenten benennen kann. Dies ist hier doch ebenfalls möglich, oder übersehe ich etwas?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

FYI Literatur: u.a. de Groot, "Interpreting interferometric height measurements using the instrument transfer function"


        
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 15.02.2015
Autor: Infinit

Hallo LoKiak,
für irgendeinen Parametersatz wird man immer einen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignal herstellen können, für eine lineare Funktion müssen jedoch zwei Bedingungen erfüllt sein, die nun mal bei der Phasen- und auch bei der Frequenzmodulation nicht erfüllt sind.
Die eine Bedingung betrifft die Homogenität. Für ein Eingangssignal [mm] a f(x) [/mm] erhält man ein Ausgangssignal [mm] a m(x) [/mm], mit einem konstanten [mm] a[/mm]. Die zweite Bedingung ist die Erfüllung der Superposition. Für ein Eingangssignal [mm] f_1(x) + f_2 (x) [/mm] bekommt man die Überlagerung der beiden Einzelantworten [mm] m_1 (x) + m_2 (x) [/mm]. Beide Bedingungen sind  nicht erfüllt und dies hast Du ja auch selbst schon geschrieben. Wenn Du nun einen linearen Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal und seiner Ableitung betrachtest, so fällt hier einem natürlich die e-Funktion als einzige Funktion ein, die unter bestimmten Voraussetzungen diese lineare Abhängigkeit erfüllt. Für das Ausgangssignal eines Phasenmodulators gilt dies schon nicht mehr. 
Du siehst, zur Einhaltung einer Linearität gehört mehr als nur die Darstellungsmöglichkeit von Signalen mithilfe der Fouriertransformation.
Viele Grüße,
Infinit

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Phasenmodulation/nichtlin Syst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 15.02.2015
Autor: LoKiaK

Hallo Infinit,
zunächst einmal Danke für die Hilfsbereitschaft.
Zur Homogenität: f(x) und m(x) müssten doch eigentlich gleich sein, da bei linearen Systemen ein cosinus am Eingang f(x)=a*cos() ein cosinus am Ausgang [mm] m(x)=b*cos(...+\phi_{0}) [/mm] erscheint, wobei k=b/a und eine Phasenänderung [mm] \phi_{0} [/mm] möglich sind, korrekt? An der Homogenität dürfte sich ja doch auch nichts ändern, wenn k eine Funktion von der Eingangsamplitude würde, also k(a). Damit würde das Ganze komplexer (man müsste dann theoretisch für jedes a die Konstante k bestimmen) , dieser Teil der Linearitäts-Bedingungen aber nicht verletzt.
Folgendes Gedankenexperiment:
Am Eingang soll ein phasenmoduliertes Signal anliegen, im Fourierraum einfach ein einfacher Tiefpass vorliegen, also ein rect()-Signal, das das Spektrum des Eingangssignals ab einer bestimmten Frequenz abschneidet. Die Relation/der Zusammenhang der Spektren von Ausgangssignal und Eingangssignal sollte man doch nach wie vor als Übertragungsfunktion angeben können, in diesem Fall ist es einfach das rect()-Signal. Dies gilt unabhängig davon, ob man nun ein amplituden- oder ein phasenmoduliertes Signal hat.  Mir will noch nicht so recht einleuchten, wo das Problem bei phasenmodulierten Signalen in Bezug auf ihre Übertragungseigenschaften haben.  
Gruß
  

Bezug
                        
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 15.02.2015
Autor: Infinit

Hallo LoKiaK,
eventuell reden wir noch ein wenig aneinander vorbei, aber das wird sich auch noch klären lassen :-).
Deine Beispiele sind klassische Beispiele aus der Netzwerktheorie, wie beispielsweise die Filterung eines Signals mithilfe einer Rechteckfunktion, sprich TP-Filter,  oder eben die Tatsache, dass bei einem linearen System ein Cosinus am Eingang wieder ein Cosinussignal (wohlgemerkt eines) ergibt, das gegenüber dem Eingangssignal unterschiedliche Amplitude und unterschiedliche Phasenlage aufweist. Das ist alles okay, hat aber nichts mit der Phasenmodulation zu tun, um die es Dir ja augenscheinlich geht.

So ein phasenmoduliertes Signal lässt sich allgemein mit Hilfe einer Trägerfrequenz und eines zeitlich sich ändernden Phasensignals beschreiben als
[mm] s_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + \varphi(t)) [/mm]
Die Momentanphase dieses Signals ändert sich mit der Zeit und man kann sie schreiben als
[mm] \varphi_{Mom} (t) = \omega_c t + \varphi(t) [/mm]
Es gibt genau eine Art von Modulationssignal, nämlich ein Cosinussignal, für das man in geschlossener Form das Ausgangssignal angeben kann, wozu man die Bsselfunktionen einsetzt. In Lehrbüchern über Modulationsverfahren kannst Du den Rechenweg finden, der nicht so ganz ohne ist. Betrachtet man das Ausgangssignal im Frequenzbereich, so stellt man dann fest, dass ein sinusförmiges Eingangssignal bei einer Phasenmodulation zu einem Linienspektrum führt, das eine Komponente bei der Trägerfrequenz [mm] \omega_c [/mm] aufweist und eine unendliche Anzahl von Seitenspektrallinien, die im Abstand von ganzzhaligen Vielfachen der Modulationsfrequenz des Eingangssignals um das Trägersignal herumliegen. Dies ist ganz sicher kein lineares Verhalten zwischen Ausgangssignal und Eingangssignal.
Viele Grüße,
Infinit

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Phasenmodulation/nichtlin Syst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mo 16.02.2015
Autor: LoKiaK

Hallo Infinit,
ja, ich glaube hier liegt ein Missverständnis vor, aber Deine Auffassung, dass wir dieses beilegen können, macht mir Mut ;-)
Also, mir geht es weniger um die Phasenmodulation an und für sich, dazu habe ich im Ohm/Lüke auch den Zusammenhang mit den Besselfunktionen gefunden. Mich wurmt, dass ich nicht verstehe, wieso ein System nicht linear wird, wenn es von der Eingangsgröße, in diesem Fall von der Amplitude der Eingangsgröße, abhängig wird. Dies macht in meinen Augen das System nur komplexer, wiederspricht aber weder der Homogenitäts- noch der Superpositionsbedingung. Vllt hab ich aber auch ein Brett vor'm Kopf.
Zum zuletzt genannten Beispiel: warum sollte ein einfacher Tiefpass rect() kein lineares System mehr sein, wenn am Eingang ein phasen- oder allgemein winkelmoduliertes Signal anliegt?
Gruß

Bezug
                                        
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Phasenmodulation/nichtlin Syst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mi 18.02.2015
Autor: Infinit

Hallo LoKiak,
jetzt kommen wir der Sache näher und wir landen nicht so sehr in der Modulationstheorie, wie ich erst dachte, sondern in der Netzwerktheorie.
Ich versuche mal eine kurze Beschreibung zum linearen System: Ein System wird dann linear genannt, wenn es in Bezug auf seine Eingangsignale die Eigenschaften der Homogenität und der Superposition erfüllt.

Dies gilt bei einem Tiefpaß natürlich auch, wenn an seinem Eingang ein winkelmoduliertes Signal anliegt. Du kannst das gesamte Signal um einen Faktor a vergrößern und bekommst im Durchlassbereich des TP ein um den Faktor a verstärktes Signal heraus und wenn Du die Summe zweier winkelabhängiger Signale auf den Eingang gibst, wirst Du auch ein Summensignal am Ausgang erhalten, natürlich entsprechend gefiltert.
Meine Beiträge betrachteten einen Winkelmodulator als System und da gilt, wie wir beide sicher glauben, die Linearität nicht mehr. Im Ausgangssignal erscheinen Frequenzanteile, die im Eingangssignal nicht vorhanden waren.
Wenn Dein Tiefpaß so bemessen ist, dass er Teile des winkelmodulierten Signals abschneidet, so entsteht bei der Rückwandlung, sprich der Demodulation,  eine Verzerrung, das diese Verzerrung verursachende Filter ist jedoch weiterhin linear. Deswegen bezeichnet man diese Verzerrung auch als lineare Verzerrung.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Mi 18.02.2015
Autor: LoKiaK

Hallo Infinit,
ich versteh das nun so, korrigier' mich bitte, wenn ich falsch liege:
Quellsignal sei wieder [mm] f(x)=a*cos(k_{x}*x) [/mm] und Trägersignal m(x)=sin(k*f(x)). Bezüglich des Trägersignals m(x) ist der Tiefpass (TP) linear, sprich: wenn man das Eingangssignal m(x) in seine cosinus/sinus-Komponenten zerlegt, dann erscheinen diese Komponenten am Ausgang vom TP unverzerrt (oder linear verzerrt? Bedeutet "linear verzerrt" einfach eine Änderung der Amplitude, ohne Erscheinen von "Obertönen"?). Demoduliert man jedoch das Signal hinter dem TP, schaut man sich also übertragene Quellsignal f'(x) an, dann sind zu dem anfänglichen sinus-Signal (1 Frequenzkomponente) weitere Frequenzkomponenten hinzugekommen. Wenn das so stimmt, ist der TP für das Trägersignal ein lineares und für das Quellsignal ein nicht-lineares System.
Gruß



Bezug
                                                        
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mi 18.02.2015
Autor: Infinit

Hallo LOKiaK,
möglich, dass Du recht hast, möglich, dass Du nicht recht hast, denn aus Deiner Beschreibung geht nicht hervor, wann was getan wird, das ist aber wichtig, denn die Winkelmodulation ist ein nichtlineares Verfahren, wie wir gesehen haben und somit nicht beliebig vertauschbar mit einem Filter. Ich gehe jetzt mal von folgendem Blockschaltbild aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Zusammenhang zwischen m(x) und g(x) ist sicherlich nichtlinear, denn es werden im winkelmodulierten Signal m(x) Frequenzanteile auftreten, die im Eingangssignal nicht vorhanden sind. Die anschließende Filterung ist sicherlich linear, wird in der Praxis aber dazu führen, dass Frequenzanteile aus dem modulierten Signal herausgefiltert werden, die man für eine hundertprozentig korrekte Demodulation eingentlich bräuchte. Das demodulierte Ausgangssignal h(x) wird demzufolge in der Praxis nicht dem Eingangssignal f(x) entsprechen. Nur ein Tiefpaß mit unendlicher Übertragungsbandbreite würde wieder dazu führen, dass h(x) = f (x). Das Gesamtsystem aus Modulator, TP-Filterung und Demodulator ist demzufolge ein nichtlineares System, wenn es auch ein lineares Filter, den TP, enthält. Diese Aussage gilt auch schon, wie Du richtig erkannt hast, wenn Du das Ausgangssignal des TP g(x) in Bezug setzt zum Eingangssignal f(x).
Viele Grüße,
Infinit

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mi 18.02.2015
Autor: LoKiaK

Ich bin verwirrt...
1. Die Aussage "Der Zusammenhang zwischen m(x) und g(x) ist sicherlich nichtlinear,..." würde ich nur verstehen, wenn Du eigentlich f(x) und nicht g(x) meinst.
2. "Diese Aussage gilt auch schon, wie Du richtig erkannt hast, wenn Du das Ausgangssignal des TP g(x) in Bezug setzt zum Eingangssignal f(x)."...wenn der nicht-lineare Zusammenhang zwischen m(x) und f(x) gilt, und g(x) bei einem unendlich breitem TP genau f(x) entspricht, dann muss der Zusammenhang auch zwischen m(x) und g(x) gelten, right? Aber an welcher Stelle will ich das denn gesagt haben? ;-)
Mathematisch gesehen müßte der Zusammenhang zwischen m(x) und f(x) eine Komposition sein, also sowas wie w(v(x))=(w [mm] \circ [/mm] v)(x) ...sind Kompositionen immer nicht linear, also der Zusammenhang zwischen innerer und äußerer Funktion? Ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich stelle sie mal in den Raum.
Ich hab nochmal, angelehnt an Deine Skizze, die einzelnen Größen benannt, korrigier mich bitte, wenn Du es anders gemeint hast. Demnach moduliert f(x) als Phasenfunktion das Trägersignal m(x). Da der TP ein lineares System ist, falte ich m(x) mit dessen Impulsantwort und erhalte g(x). Nach der Demodulation erhalte ich mein Modulationssignal h(x), was, wenn der TP nicht viel abschneidet, f(x) entsprechen sollte.
Gruß  
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
Phasenmodulation/nichtlin Syst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Do 19.02.2015
Autor: Infinit

Hallo LoKiaK,
da habe ich mich vertippt, ich meinte natürlich den Zusammenhang zwischen m(x) und f(x). m(x) würde ich als modulertes Signal bezeichnen und nicht als Trägersignal, aber das ist nur Wording.
Wenn man nun zu Deinem ersten Beitrag zurückkehrt mit der Frage nach der Übertragungsfunktion einer Winkelmodulation, so kann ich dann keine Übertragungsfunktion angeben, wenn ich im Sinne der klassischen Netzwerktheorie damit ein lineares System bezeichne. Mathematisch betrachtet würde ich jedoch durchaus Deine Gleichung zu m(x) als Übertragungsfunktion bezeichnen, schließlich ist sie in Abhängigkeit von f(x) ausgedrückt.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
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