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| Aufgabe | | Zeichne das Phasenportrait für H(x,y) = -cos x + 1/2 * [mm] y^2 [/mm] |
hi
ich beschäftige mich schon seit stunden mit diesen phasenportraits uns hab jetz immerhin schonmal kapiert, dass man die funktion gleich c setzt und nach y auflöst.
dann hab ich y = +- sqrt(2c + 2cos x)
jetz müsste ich verschiedene cs wählen (-2, -1, 0, 1, 2), einfach werte einsetzen und zeichnen glaub ich.
allerdings: was ist wenn ich x-werte einsetze, sodass der cosinus negativ wird (wg der wurzel)?
ich weiß außerdem, dass H in (0,0) ein lokales minimum hat. aber was sagt mir das?
extrema sind in den punkten(pi*k, 0)
aber irgendwie komm ich nicht ganz hin...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mi 03.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du beschreibst sind Höhenliniern der Funktion H(x,y), das nennt man i.A. nicht Phasenporträt
du hast die implizit gegebene Funktion $-cos x + 1/2 * $ [mm] y^2 [/mm] =h$
oder [mm] y^2=h+cos(x) [/mm] für h=0 kriegst du eben nur Kurven für cos(x)>0 [mm] y\le1 [/mm] usw.
plot das einfach mal für verschiedene h, natürlich den pos. und neg, teil der Wurzel, oder nur den pos und dann an der x-achse spiegeln.
Gruss leduart
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ok cool, jetz hab ich dat ding,
sind um die 2kpi fachen immer konzentrische kreise und wenn c betragsmäßig zu groß wird, schließen die kreise nicht mehr, quasi eine wellenlinie drüber und drunter :)
wie verhält es sich nun aber mit der orientierung dieser linien? da muss man doch immer pfeile einzeichnen..
und da wird doch dann auch relevant ob etwas stabil ist oder nicht und wirbelpunkt und so. aber ich kenn das nur mit eigenwerten und hier hab ich ja irgendwie keine.
wär nett wenn man mich halbwegs aufklären könnte :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Do 04.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher kommt denn H(x,y) warum nennst du die Höhenlinien "Phasenporträt"?
Steckt da ne DGL dahinter?
"Kreise" ist nur die ungefähre Form für h=0 und h<1
Gruss leduart
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ja, also ursprünglich hieß die aufgabe
betrachtet wird das autonome system um den GGP(0/0)
x' = y (*)
y' = - sin x (*)
a)finde stet. diffbares H(x,y), das auf den Lsgs von (*) konstant ist.
Hinweis: suche H mit x' = dH/dy, y' = dH/dx. Warum ist H dann konstant auf den Lsgs von (*)
b) begründe anschaulich, warum die lsgkurven (x(t), y(t)) von (*) in der nähe von (0/0) geschlossen sind.
Hinweis: untersuche H auf extrema
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 06.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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