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Hi,
heut beiß ich mir an folgender Frage die Zähne aus:
Ein physikalisches Pendel besteht aus einer 1,1 m langen dünnen Stange, auf der 90 cm unterhalb des Aufhängepunktes eine 50 cm lange dünne Querstange unter einem rechten Winkel symmetrisch angebracht ist. Das Stabmaterial wiegt 0,2 kg/m Länge. Welche Schwingungsdauer hat das Pendel?
Also ich weiß, dass sich die Schwingungsdauer aus der Gleichung
T= [mm] 2\pi\wurzel{\bruch{I_{A}}{s*m*g}} [/mm] errechnen lässt.
Wobei [mm] I_{A}...Trägheitsmoment [/mm] bei Rotation um Aufhängepunkt A
s... Abstand Aufhängepunkt - Schwerpunkt
m..Gesamtmasse
Mir fehlt nun als [mm] I_{A} [/mm] und der Schwerpunkt, und trotz ewiger Rechnerei, krieg ichs einfach nicht hin.
Vielleicht hat einer von euch nen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steelscout,
bei der gesuchten Größe [mm] $I_A$ [/mm] handelt es sich um das sog. Massenträgheitsmoment.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Trägheitsmoment
Dieses errechnet sich allgemein zu: [mm] $I_A [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {r^2 dm}$.
[/mm]
In unserem Falle genügt: [mm] $I_{Ai} [/mm] = [mm] m_i*r_i^2$, [/mm] da wir unsere betrachteten Einzelteile auf den jeweiligen Schwerpunkt beziehen.
In unserem Falle setzt es sich aus zwei Komponenten zusammen:
[1] Pendelstange
Diese ist insgesamt 1,10m lang
[mm] $\Rightarrow$ $m_1 [/mm] = [mm] l_1 [/mm] * m^* = 1,10m * 0,20kg/m = 0,22kg$
Der Schwerpunkt dieser Stange liegt [mm] $\bruch{l_1}{2}$ [/mm] vom Drehpunkt entfernt: [mm] $s_1 [/mm] = [mm] \bruch{l_1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1,10}{2} [/mm] = 0,55m$
[mm] $I_{A1} \approx m_1 [/mm] * [mm] s_1^2 [/mm] = 0,22kg * [mm] (0,55m)^2 [/mm] = 0,06655 [mm] kg*m^2$
[/mm]
[mm] $(\star)$
[/mm]
[2] Querstange
Diese ist insgesamt 0,50m lang
[mm] $\Rightarrow$ $m_2 [/mm] = [mm] l_2 [/mm] * m^* = 0,50m * 0,20kg/m = 0,10kg$
Der Schwerpunkt dieser Stange liegt [mm] $s_2$ [/mm] vom Drehpunkt entfernt:
[mm] $s_2 [/mm] = 0,90m$
[mm] $I_{A2} \approx m_2 [/mm] * [mm] s_2^2 [/mm] = 0,10kg * [mm] (0,90m)^2 [/mm] = 0,08100 [mm] kg*m^2$
[/mm]
[mm] $(\star)$
[/mm]
Nun die Gesamtwerte:
$m = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] = 0,22kg + 0,10kg = 0,32kg$
[mm] $I_A \approx I_{A1} [/mm] + [mm] I_{A2} [/mm] = 0,06655 + 0,08100 = 0,14755 [mm] kg*m^2$
[/mm]
$s = [mm] \bruch{m_1*s_1 + m_2*s_2}{m_1 + m_2} [/mm] = [mm] \bruch{(0,22*0,55 + 0,10*0,90)kg*m}{0,32kg} [/mm] = 0,659375m$
Der Gesamtschwerpunkt liegt also ca. 66cm vom Drehpunkt entfernt.
[mm] $(\star)$ [/mm] Eigenträgheitsmoment(e) vernachlässigt.
Und nun in Deine Formel:
$T = [mm] 2\pi\wurzel{\bruch{I_{A}}{s*m*g}}$
[/mm]
$T = [mm] 2\pi\wurzel{\bruch{0,14755kg*m^2}{0,659375m*0,32kg*9,81\bruch{m}{s^2}}}$
[/mm]
$T = [mm] 2\pi\wurzel{0,07128s^2} \approx [/mm] 1,68s$
Grüße Loddar
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Erstmal super vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Hab nur noch eine Nachfrage, schließlich muss ichs ja auch verstehen *g*
Wie kommst du auf die Trägheitsmomente insb. das zweite?
Warum kann man das auf so einfach Ausdrücke reduzieren?
mfg steele
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> Wie kommst du auf die Trägheitsmomente insb. das zweite?
> Warum kann man das auf so einfach Ausdrücke reduzieren?
Ich nehme an, die Frage mit den einfachen Ausdrücken bezieht sich dann auf beide Trägheitsmomente? Die Berechnung war ja in beiden Fällen sehr ähnlich.
Zuerstmal: in der Definition des Trägheitsmomentes findet man Summenzeichen und Integrale, bei dieser Berechnung hier nicht. Hier hat man "sehr einfache" Körper, die regelmäßig sind und eine homogene Dichteverteilung besitzen (zumindest wurde in der Aufgabenstellung nichts anderes angegeben).
Ich geh jetzt mal auf das zweite Trägheitsmoment ein:
man braucht ja (wie man an der Formel [mm]I=m \cdot s^2[/mm] sieht) die Masse des Körpers, sowie den Ortsvektor (bzw. einfach nur Abstand) des Schwerpunktes zur Drehachse / zum Drehpunkt.
Die Masse der Querstange dürfte klar sein.
Der Schwerpunkt der Querstange liegt genau in ihrer Mitte, dort, wo sie an der senkrechten Stange angebracht ist. Und das ist genau 90cm unter dem Drehpunkt. Somit liefert die Formel [mm]I\ =\ m \cdot s^2\ =\ 0,10kg \cdot (0,9m)^2\ =\ 0,081 kg\cdotm^2[/mm].
Und dann das Zusammensetzen der Angaben: die Massen addieren sich einfach, das ist klar. Und der Gesamtschwerpunkt berechnet sich so: man hat ja zwei Punkte, von denen man sowohl Ort, als auch Masse kennt. Die Formel [mm]s = \bruch{m_1\cdot{}s_1 + m_2\cdot{}s_2}{m_1 + m_2}[/mm] liefert dann so eine Art "gewichtetes Mittel" der Orte der beiden Einzelmassen, abhängig von den einzelnen Massen.
Ich hoffe, ich konnte vernünftig auf deine Frage eingehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Sa 22.01.2005 | | Autor: | steelscout |
Nur der Vollständigkeit halber:
Die Trägheitsmomente sind nicht korrekt.
Das richtige Ergebnis lieferte hierbei entweder die ausführliche Integration über die Massenelemente oder die Anwendung des Steinerschen Satzes auf das Trägheitsmoment der Stangen.
Die gesuchte Schwingungsdauer lag daher bei etwa 1,8s.
Warum obige Rechnung nicht zum richtigen Ziel führt, weiß ich aber leider auch nicht.
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