Physikalisches Pendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mi 22.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Ein Stab der Länge L bilde ein physikalisches Pendel mit der Aufhängung bei Punkt O.
(a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Periode des Pendels als Funktion von L und x her.
(b) Für welches x(L), d.h. für welchen Aufhängungspunkt bei gegebenem L, ist die Schwingungsperiode am kürzesten?
Eine Grafik zeigt einen Stab, der die Länge L hat. Der Schwerpunkt ist bei [mm] \bruch{L}{2}. [/mm] Die Aufhängung O liegt zwischen dem oberen Ende des Stabes und [mm] \bruch{L}{2} [/mm] . x gibt den Abstand zwischen der Aufhängung O und dem Schwerpunkt [mm] \bruch{L}{2} [/mm] an. |
Hallo!
Hier meine Idee zu (a):
Drehmoment [mm] M=-m*g*x*sin(\phi) [/mm]
außerdem [mm] M=J*\phi''
[/mm]
Für kleine [mm] \phi [/mm] : [mm] sin(\phi)\approx\phi
[/mm]
[mm] \Rightarrow-m*g*x*\phi =J*\phi''
[/mm]
[mm] \gdw \phi''=\bruch{-m*g*x}{J}*\phi
[/mm]
Es ist ein Bewegungsgleichung der Form [mm] x''=-\omega^{2}*x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \omega^{2}=\bruch{m*g*x*}{J} \Rightarrow \omega= \wurzel{\bruch{m*g*x}{J}}
[/mm]
Mit [mm] T=\bruch{2*\pi}{\omega} \Rightarrow T=2*\pi*\wurzel{\bruch{J}{m*g*x}}
[/mm]
Trägheitsmoment des Stabes [mm] J=\bruch{1}{12}*m*L^{2}+m*x^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow T=2*\pi*\wurzel{\bruch{\bruch{1}{12}*m*L^{2}+m*x^{2}}{m*g*x}}=2*\pi*\wurzel{\bruch{L^{2}}{12*g*x}+\bruch{x}{g}}
[/mm]
Ist das richtig?
Zu b) habe ich mir überlegt, dass sie am kürzesten sein müsste, wenn die Achse im Schwerpunkt ist, also x=0. Wenn ich das jedoch in das Ergebnis von (a) einsetze, ist das nicht definiert.
Auch wenn ich die Wurzel versuche zu minimieren, erhalte ich nur komplexe Lösungen.
Wo liegt mein Fehler? Oder ist meine Periode falsch? Ich finde den Fehler nur nicht.
Vielen Dank!
LG
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