Pi und E < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 So 08.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe gerade eine Formel aufgeschnappt, die ich leider nicht bewiesen bekomme:
[mm]\sqrt[6]{\pi^4+\pi^5}=e[/mm]
Ob es genau stimmen soll, oder ob es nur eine ziemlich genaue Approximation ist, weiß ich nicht.
Ich habe es schon über die Taylorreihen versucht, bin aber nicht weit gekommen.
EDIT:
Vielleicht poste ich einfach mal das, was mir zuerst eingefallen ist:
[mm]tan(\frac{\pi}{4})=1 \gdw \pi=4\cdot arctan(1)[/mm]
[mm]arctan(x)=\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{x^{2i-1}}{2i-1}\cdot(-1)^i}[/mm]
[mm]\Rightarrow \pi=4\cdot\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{1^{2i-1}}{2i-1}\cdot(-1)^i}[/mm]
[mm]\gdw \pi=4\cdot\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{2i-1}\cdot(-1)^i}[/mm]
Aus
[mm]e^x=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{x^i}{i!}}[/mm] und [mm](-1)^{4i}=(-1)^4^i=1^i=1[/mm] folgt dann für die Ausgangsgleichung:
[mm]4^4\cdot\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{(2i-1)^4}}+4^5\cdot\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{(-1)^i}{(2i-1)^5}}=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{6^i}{i!}}[/mm]
Vielleicht fällt euch ja was ein.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 08.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno
lass dich durch solche Gleichungen nicht zu sehr verwirren. Eine kleine Rechnung mit dem Taschenrechner zeigt doch schon, dass die vermeintliche Zahl e schon bei der 8. Stelle nicht mehr stimmt.
Oder wenn man die "Gleichung" zur 6. Potenz erhebt, zeigt sich ein Fehler von ca. 1,76
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:16 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Paulus.
Schon, doch ich habe es auch für möglich gehalten, dass der Fehler auch beim Potenzieren und Wurzelziehen passieren kann.
Naja, danke!
Gruß,
Hanno
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