Picard-Iteration AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne für das Anfangswertproblem y´ (t)=y(t)+2, y(0)=2 die ersten Terme der Picard Interation.
Leiten sie hieraus eine Formel für die n-te Picard-Iteration ab und beweisen sie diese mit vollständiger Induktion.
Gegen welche Funktion konvergiert die Folge der Picard- Iteration? geben sie die Lösung des AWP explizit an. |
Okay, ich kenne das Picard-Iteratinsve rfahren zwar nur aus der Definition aber ich versuche es mal!
[mm] y_1(t)=2+\integral_{0}^{x}{ty_0(t) dt}= [/mm] 2+4y
Wie berchnet sich die Picard Iteration? ich merke gerade, dass ich es doch nicht hibekomme...also was hinter dem Integral steht, wie berechne ich das?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechne für das Anfangswertproblem y´ (t)=y(t)+2, y(0)=2
> die ersten Terme der Picard Interation.
>
> Leiten sie hieraus eine Formel für die n-te
> Picard-Iteration ab und beweisen sie diese mit
> vollständiger Induktion.
>
> Gegen welche Funktion konvergiert die Folge der Picard-
> Iteration? geben sie die Lösung des AWP explizit an.
> Okay, ich kenne das Picard-Iteratinsve rfahren zwar nur
> aus der Definition aber ich versuche es mal!
>
> [mm]y_1(t)=2+\integral_{0}^{x}{ty_0(t) dt}=[/mm] 2+4y
Mein Gott, was für ein Durcheinander !
Was ist den [mm] y_0 [/mm] ? Wie kommst Du auf [mm] ty_0(t) [/mm] ????
>
> Wie berchnet sich die Picard Iteration?
[mm]y_{n+1}(x)=2+\integral_{0}^{x}{(y_n(t)+2)dt[/mm]
[mm] y_0 [/mm] darfst Du Dir aussuchen.
> ich merke gerade,
> dass ich es doch nicht hibekomme...also was hinter dem
> Integral steht, wie berechne ich das?
Kannst Du auch mal etwas nachlesen bzw. nachschlagen ??
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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Ich habe es ja nachgelsen. deshalb komme ich ja vermutlich überhaupt erst auf dieses Durcheinander!
Wenn in der VL nichts dazu erwähnt wird ist es nicht so einfach sich alles selbst zu erarbeiten und dann noch auf Anhieb richtig hinzubekommen!
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir machen uns das Leben einfach und starten mit y_0=-2.
Berechne nun mit
$ y_{n+1}(x)=2+\integral_{0}^{x}{(y_n(t)+2)dt $
mal y_1,y_2 und y_3.
FRED
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Warum y(0)=-2? Ich muss doch mit y(0)=2 rechnen!
[mm] y_1 [/mm] muss dann sein= 2+ 2x
ich weiß nes wirklich nicht wie man das berechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Warum y(0)=-2?
Du sollst mit der Funktion [mm] y_0 [/mm] =-2 die Iteration starten !!!!!
> Ich muss doch mit y(0)=2 rechnen!
>
> [mm]y_1[/mm] muss dann sein= 2+ 2x
Nein. Das stimmt nicht. Wie kommst Du darauf ?
>
> ich weiß nes wirklich nicht wie man das berechnet.
Ich hab Dir doch die Formel genannt. Wo ist das Problem ?
FRED
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Kannst du mir vielleicht die erste Iteration aufschreiben? ich weiß das ich die Stammfunktion bilden muss, aber das ist doch 2x von 2.
Mathegirl
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Ich war heute früh wohl nicht ganz bei Sinnen..wieder zu kompliziert gedacht!
[mm] y_0=2
[/mm]
[mm] y_1=2+4x
[/mm]
[mm] y_2=2+6x+2x^2
[/mm]
[mm] y_3=2+8x+5x^2+\bruch{2}{3}x^3
[/mm]
[mm] y_4=2+10x+7x^2+\bruch{7}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4
[/mm]
...
wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste das so stimmen oder?
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich war heute früh wohl nicht ganz bei Sinnen..wieder zu
> kompliziert gedacht!
>
> [mm]y_0=2[/mm]
> [mm]y_1=2+4x[/mm]
> [mm]y_2=2+6x+2x^2[/mm]
> [mm]y_3=2+8x+5x^2+\bruch{2}{3}x^3[/mm]
> [mm]y_4=2+10x+7x^2+\bruch{7}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4[/mm]
> ...
>
Bereits [mm]y_{2}[/mm] stimmt nicht.
> wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste das so stimmen
> oder?
>
> mathegirl
Gruss
MathePower
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warum ist das falsch?
wie muss denn [mm] y_2 [/mm] heißen? Ich versteh das nicht...
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Hallo Mathegirl,
> warum ist das falsch?
> wie muss denn [mm]y_2[/mm] heißen? Ich versteh das nicht...
Es ist doch
[mm]y_{2}=2+\integral_{0}^{x}{y_{1}\left(t\right)+2 \ dt}=2+\integral_{0}^{x}{\left(2+4t\right)+2 \ dt}=2+\integral_{0}^{x}{4+4t \ dt}=2+4x+2x^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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War ein Rechenfehler, also nochmal alle [mm] y_1-y_5
[/mm]
[mm] y_0=2
[/mm]
[mm] y_1=2+4x
[/mm]
[mm] y_2=2+4x+2x^2
[/mm]
[mm] y_3=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3
[/mm]
[mm] y_4=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4
[/mm]
[mm] x_5=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4+\bruch{1}{30}x^5
[/mm]
so, jetzt muss ich noch eine Formel für die n-te Iteration finden und die mit vollständiger Induktion beweisen.
[mm] \summe_{k=0}^{n}x^k
[/mm]
aber vor das [mm] x^k [/mm] muss noch etwas davor, aber da komme ich nicht drauf, ich dachte erst [mm] \bruch{1}{k}*4 [/mm] aber das passt nicht für alle [mm] y_n
[/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> War ein Rechenfehler, also nochmal alle [mm]y_1-y_5[/mm]
>
> [mm]y_0=2[/mm]
> [mm]y_1=2+4x[/mm]
> [mm]y_2=2+4x+2x^2[/mm]
> [mm]y_3=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3[/mm]
> [mm]y_4=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4[/mm]
>
> [mm]x_5=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4+\bruch{1}{30}x^5[/mm]
>
Hier soll das doch bestimmt so lauten:
[mm]\blue{y}_5=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4+\bruch{1}{30}x^5[/mm]
> so, jetzt muss ich noch eine Formel für die n-te Iteration
> finden und die mit vollständiger Induktion beweisen.
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^k[/mm]
>
> aber vor das [mm]x^k[/mm] muss noch etwas davor, aber da komme ich
> nicht drauf, ich dachte erst [mm]\bruch{1}{k}*4[/mm] aber das passt
> nicht für alle [mm]y_n[/mm]
>
Versuche den Koeffizienten vor [mm]x_{k}[/mm] in der Form [mm]\bruch{a_{k}}{k!}[/mm] zu schreiben.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{k-1}{k!} x^k
[/mm]
aber mit k-1 gilt es auch nicht für alle [mm] y_n....
[/mm]
Keine Ahnung! Ich erkenne nicht wie es allgemein sein muss...
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Hallo Mathegirl,
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{k-1}{k!} x^k[/mm]
>
Das ist nicht richtig:
[mm]4=\bruch{1}{1!}*\blue{4}[/mm]
[mm]2=\bruch{1}{2!}*\blue{4}[/mm]
[mm]\bruch{2}{3} =\bruch{1}{3!}*\blue{4}[/mm]
[mm]\bruch{1}{6} =\bruch{1}{4!}*\blue{4}[/mm]
[mm]\bruch{1}{30} =\bruch{1}{5!}*\blue{4}[/mm]
> aber mit k-1 gilt es auch nicht für alle [mm]y_n....[/mm]
>
Das kannst Du nur für [mm]k \ge 1[/mm] machen.
> Keine Ahnung! Ich erkenne nicht wie es allgemein sein
> muss...
Gruss
MathePower
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Vollständige Induktion:
IA: n=1
[mm] y_1=\summe_{k=0}^{1}\bruch{1}{1!}4*x^1=4x
[/mm]
Die Behauptung gilt für n=1
IS: [mm] n\to [/mm] n+1
IV/ IB:
[mm] y_{n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\bruch{1}{(n+1)!}4*x^{n+1}
[/mm]
So, das ist hoffentlich so richtig bewiesen durch vollständige Induktion.
Gegen welche Funktion konvergiert die die Folge der Picard Iteration?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 06.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Vollständige Induktion:
> IA: n=1
> [mm]y_1=\summe_{k=0}^{1}\bruch{1}{1!}4*x^1=4x[/mm]
> Die Behauptung gilt für n=1
>
> IS: [mm]n\to[/mm] n+1
> IV/ IB:
> [mm]y_{n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\bruch{1}{(n+1)!}4*x^{n+1}[/mm]
>
> So, das ist hoffentlich so richtig bewiesen durch
> vollständige Induktion.
>
> Gegen welche Funktion konvergiert die die Folge der Picard
> Iteration?
Gegenfrage: Kennst du die Reihenentwicklung der e-Funktion?
Gruß Abakus
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Stimmt die Induktion soweit?
Reihenentwicklung der e-Funktion:
[mm] e^x= 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...
[/mm]
Die Folge muss gegen eine e-Funktion konvergieren, ich hab es bloß noch nicht geschafft mir die so hinzubasteln, dass sie passt.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 So 06.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Stimmt die Induktion soweit?
Ich wuerde das nicht als Beweis akzeptieren, denn ich sehe nicht, wie Du geschlussfolgert hast, dass, wenn [mm] $y_{n}$ [/mm] gleich der obigen Summe ist, dann [mm] $y_{n+1}$ [/mm] gleich der anderen Summe ist. Tip: Wende auf die Summenformel von [mm] $y_{n}$ [/mm] den Iterationsschritt an, denn so entsteht ja das [mm] $y_{n+1}$ [/mm] aus dem [mm] $y_{n}$.
[/mm]
>
> Reihenentwicklung der e-Funktion:
> [mm]e^x= 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...[/mm]
>
> MfG
> Mathegirl
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Kannst du mir das vielleicht zeigen?
Ich weiß nicht wie du das meinst, also wie ich das in den beweis einbinden soll.
MfG mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 06.11.2011 | | Autor: | hippias |
Leder habe ich keine Zeit mehr: Du hast das [mm] $y_{n}$ [/mm] durch Integration bestimmt. Genau diesselbe Integration musst Du im Induktionsschritt durchfuehren, wobei Du statt [mm] $y_{n}$ [/mm] eben die entsprechende Summenformel einsetzt.
Das schaffst Du bestimmt!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 06.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Stimmt die Induktion soweit?
>
> Reihenentwicklung der e-Funktion:
> [mm]e^x= 1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...[/mm]
> Die Folge
> muss gegen eine e-Funktion konvergieren, ich hab es bloß
> noch nicht geschafft mir die so hinzubasteln, dass sie
> passt.
"Eine" e-Funktion ist ja gut, aber welche konkret? Du hast hoffentlich den Faktor 4 nicht übersehen.
> MfG
> Mathegirl
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Ich dachte ja zuerst an [mm] y(x)=e^{4x} [/mm] aber das stimmt noch nicht ganz...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 06.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich dachte ja zuerst an [mm]y(x)=e^{4x}[/mm] aber das stimmt noch
> nicht ganz...
Das sowieso nicht, wenn man den Faktor 4 vor die Summe zieht, erhält man 4*...
Aber mir fällt etwas anderes auf. Heute stand schon mal folgender Anfang da:
$ [mm] \blue{y}_5=2+4x+2x^2+\bruch{2}{3}x^3+\bruch{1}{6}x^4+\bruch{1}{30}x^5 [/mm] $
Wenn man jetzt 4 ausklammert, erhält man
$ [mm] \blue{y}_5=4(0,5+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^4}{4!}+\bruch{x^5}{5!}) [/mm] $.
Dass ist NICHT der Anfang der Taylorreihe von [mm] 4e^x, [/mm] weil dann am Anfang statt 4(0,5+...+ usw.) stehen müsste 4*(1 +...). Die erste Summe ist also für [mm] 4*e^x [/mm] um 4*0,5 zu klein, also müsste es sich um die Reihe für [mm] 4e^x\blue{-2} [/mm] handeln.
(Ich habe jetzt nicht den gesamten Thread zurückverfolgt, ob irgendwann früher noch ein Fehler drin ist.
Gruß Abakus
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Hallo Mathegirl,
> Kannst du mir vielleicht die erste Iteration aufschreiben?
> ich weiß das ich die Stammfunktion bilden muss, aber das
> ist doch 2x von 2.
>
[mm]y_{1}=2+\integral_{0}^{x}{ y_{0}\left(t\right)+2 \ dt}=2+\integral_{0}^{x}{ 2+2 \ dt}=2+\integral_{0}^{x}{ 4 \ dt}=2+4x[/mm]
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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okay, nun versuche ich noch die allgemeine Lösung von y'=y-2 zu bestimmen
y'-y-2=0
[mm] y=K(x)*e^x
[/mm]
[mm] y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x
[/mm]
[mm] y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x
[/mm]
[mm] y'-y=K'(x)*e^x=x-2
[/mm]
[mm] K'(x)=(x-2)*e^{-x}
[/mm]
hier eine kurze Frage: muss [mm] K'(x)=(x-2)*e^{-x} [/mm] oder [mm] K'(x)=x*e^{-x}
[/mm]
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 06.11.2011 | | Autor: | abakus |
> okay, nun versuche ich noch die allgemeine Lösung von
> y'=y-2 zu bestimmen
>
> y'-y-2=0
Es müsste y'-y+2=0 heißen.
> [mm]y=K(x)*e^x[/mm]
> [mm]y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x[/mm]
> [mm]y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x[/mm]
> [mm]y'-y=K'(x)*e^x=x-2[/mm]
Aus der Gleichung y'=y-2 folgt einfach nur y'-y=-2. Aus welchem Ärmel zauberst du das x?
> [mm]K'(x)=(x-2)*e^{-x}[/mm]
>
> hier eine kurze Frage: muss [mm]K'(x)=(x-2)*e^{-x}[/mm] oder
> [mm]K'(x)=x*e^{-x}[/mm]
>
> Mathegirl
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Sorry, ich habe einen Tippfehler gemacht
y'=y+2 daher dann auch
y'-y-2=0
dann müsste doch folgendes stimmen:
> > y'-y-2=0
> Es müsste y'-y+2=0 heißen.
> > [mm]y=K(x)*e^x[/mm]
> > [mm]y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x[/mm]
> > [mm]y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x[/mm]
> > [mm]y'-y=K'(x)*e^x=x-2[/mm]
also ist [mm] K'(x)=-2*e^{-x} [/mm] oder?
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Sorry, ich habe einen Tippfehler gemacht
> y'=y+2 daher dann auch
> y'-y-2=0
>
> dann müsste doch folgendes stimmen:
>
>
>
>
> > > y'-y-2=0
> > Es müsste y'-y+2=0 heißen.
> > > [mm]y=K(x)*e^x[/mm]
> > > [mm]y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x[/mm]
> > > [mm]y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x[/mm]
> > > [mm]y'-y=K'(x)*e^x=x-2[/mm]
>
> also ist [mm]K'(x)=-2*e^{-x}[/mm] oder?
>
Ja.
> mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Manchmal lohnt es sich, einfach nur die Augen ganz weit aufzumachen.
Du willst also die allgemeine Lösung von y'=y+2.
Dass die zugeh. homogene DGL y'=y die allgemeine Lösung [mm] y(x)=ce^x [/mm] hat, dürfte klar sein.
So, jetzt machen wir uns auf die Suche nach einer speziellen Lösung von y'=y+2.
Man kann natürlich das ganze Programm "Variation der Konatanten " durchorgeln, aber vielleicht sieht man ohne jede Rechnung, dass [mm] y_p=-2 [/mm] eine solche spezielle Lösung ist.
FRED
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