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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis von Picard-Lindelöf. Ich weiß, dass ich dazu im Internet und in Büchern fertige Beweise finde und ich habe auch selbst einen in meinem Skript stehen, allerdings würde ich gerne die Beweisidee richtig verstehen, weshalb ich mich an euch wende und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann!
Es geht um die lokale Version von Picard-Lindelöf:
"Sei G [mm] \subset \IR [/mm] x [mm] \IR^{n} [/mm] offen und f:G [mm] \to \IR^{n} [/mm] eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitzbedingung genügt. Dann gibt es zu jedem Punkt (a,b) [mm] \in [/mm] G ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass das Anfangswertproblem y'=f(x,y), y(a)=b eine eindeutige Lösung [mm] \phi [/mm] : [a - [mm] \varepsilon, [/mm] a+ [mm] \varepsilon] \to \IR^{n} [/mm] besitzt."
Grundsätzliche Idee ist ja, dass man die Lösung als Integralgleichung schreibt und das ganze auf ein Fixpunktproblem zurückführt, um schließlich den Banach'schen Fixpunktsatz anzuwenden.
Also zum Umschreiben: [mm] \phi [/mm] (x) = b+ [mm] \integral_{a}^{x}{f(t, \phi(t)) dt} [/mm] = T [mm] (\phi)(x)
[/mm]
Dann folgen Abschätzungen [mm] \parallel [/mm] T [mm] (\phi)(x) [/mm] - T [mm] (\psi)(x) \parallel \le [/mm] ... [mm] \le [/mm] L [mm] |x-a|*\parallel \phi [/mm] - [mm] \psi \parallel_{\infty}
[/mm]
Und nun folgt noch die Anwendung des Fixpunktsatzes.
Irgendwie fehlt mir allerdings die Verbindung zum Satz an sich und mir ist noch nicht ganz klar, warum ich die einzelnen Schritte durchführe und inwiefern das den Satz von Picard-Lindelöf beweist. (Ich will nicht jeden Schritt haarklein verstehen, aber ein Verständnis der gesamten Beweisidee wäre mir wichtig...)
Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke schonmal im Voraus!
VG Isa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Wendet man den Fixpunktsatz auf den Operator T an, so liefert das:
es ex. ganau ein [mm] \phi [/mm] mit [mm] T(\phi)=\phi.
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] T(\phi)=\phi \gdw \phi [/mm] ist eine Lösung des Anfangswertproblems
Wenn also T genau einen Fixpunkt hat, so hat das AWP genau eine Lösung.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Fr 23.10.2015 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen lieben Dank!
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