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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Betrachte das Anfangswertproblem
[mm] y'=xy^2, [/mm] y(0)=2
Bestimme das maximal Intervall [mm] [-\alpha,\alpha], [/mm] für welches der Satz von Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung garantiert.
Der Satz haben wir in der Vorlesung so formuliert:
Es seien [mm] D_f \subset \IR [/mm] x [mm] \IR^n [/mm] offen, [mm] (x_0,c)\in D_F, [/mm] a,b>0 so, dass mit [mm] K_b(c)=\{y\in \IR^n: ||y-c||\le b\} [/mm] gilt:
[mm] R:=[x_0-a,x_0+a] [/mm] x [mm] K_b(c) \subset D_F
[/mm]
und F: [mm] D_F \to \IR^n [/mm] ist stetig in [mm] D_F [/mm] und Lipschitz-stetig bezüglich y auf R, d.h. es existiert ein L>0, so dass
[mm] \forall(x,y_1),(x,y_2)\in \IR: ||F(x,y_1)-F(x,y_2)|| \le L||y_1-y_2||.
[/mm]
Definiert man
[mm] M:=max\{||F(x,y)||:(x,y)\in \IR\}, \alpha:=min\{a, \bruch{b}{M},\bruch{1}{2L}\}
[/mm]
dann besitzt das Anfangswertproblem
y'=F(x,y), [mm] y(x_0)=c
[/mm]
eine eindeutige Lösung
[mm] y:[x_0-\alpha,x_0+\alpha] \to K_b(c)
[/mm]
In der Vorlesung haben wir auch ein Beispiel zu diesem Satz durchgenommen. Aber dort ging es einfach darum zu zeigen, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung in einem von uns selbst gewählten Intervall hat.
Wie komme ich den auf ein maximales Intervall?
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Ich beschäftige mich auch mit diesen Fragen und wie ich es jetzt verstanden habe, muss man die Dgl erst mal lösen und das ist in deinem Fall sehr einfach!
Wenn du die Lösung hast, schau sie dir genau an (x-Wert).
LG Wi
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Hallo
Also ich habe nun die DGL gelöst via Trennung der Variablen und habe folgendes erhalten:
[mm] y(x)=-\bruch{2}{x^2+C}
[/mm]
Und nun?
Sollte ich die Aufgabe nicht mit Picard Lindelöf lösen? Denn so steht es doch in der Aufgabenstellung...?
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Hi
Ich habe noch den Anfangswert eingesetzt und c bestimmt
[mm] y=2/(1-x^2)
[/mm]
und wenn man sich jetzt überlegt, so ist die Funktion für x=1 und x=-1 nicht definiert.
Du musst jetzt wissen, dass der Anfangswert [mm] x_0 [/mm] im Intervall sein soll und das Intervall zusammenhängend sein muss und somit gibts nur eine Möglichkeit dein Intervall zu wählen.
LG Wi
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Hallo
Dann wäre das Intervall also [mm] (1,\infty). [/mm] Ist das richtig? Das könnte ich ja mit Picard Lindelöf noch nachweisen!?
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Ich glaub nicht, denn Null muss ja im Intervall drin sein, das ist ja die Anfangsbedingung ))
und wegen unendlich, kann das nicht sein, denn da ist f(x,y) nicht lipschitz-stetig.
Ich hoffe, dass das richtig ist, sonst korrigiert mich bitte jemand!!
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Ach ja klar.... Das Intervall wäre (-1,1), oder?
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Ja, das ist richtig (glaub ich zumindest ))))
Falls du Lust hast, schau dir mein Problem an, vielleicht kennst du ja die Antwort.
Ich bereite mich auf eine Prüfung vor und es ist unheimlich schwer, wenn man keinen hat, mit dem man sich austauschen kann ((
LG Wi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 13.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Stell dir eine Zahlengerade vor, wo
-1(tabu).....0(muss rein).....1(tabu) ist.
Also......
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Ja, du hast recht, man müsste eigentlich bevor man das maximale Existenzintervall bestimmt, erst überprüfen, ob der Satz von Picard-Lindelöf überhaupt anwendbar ist, sprich die Lipschitz-Bedingung überprüfen.
Ich hoffe, das hilft dir
Gruß Wi
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