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Forum "Politik/Wirtschaft" - Pivotisieren von Matrizen
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Pivotisieren von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Sa 09.01.2016
Autor: Bernd_Stromberg

Hallo,

in meinem Wirtschaftsmathematik II Modul muss ich um den Rang / Dimension einer Matrix zu bestimmen sie pivotisieren. Es geht also darum so viele Einheitsvektoren wie möglich zu bilden. Scheinbar wurde das Pivotisieren bei meinen Komilitonen in der gymnasialen Oberstufe bereits abgehandelt. Weshalb es nicht erklärt wurde, sondern einfach als "gegeben" angesehen wird.
Ich finde leider auch im Internet keine Anleitung zum Pivotisieren für den Zweck der Rang Bestimmung.
Kann mir jemand das Pivotisieren erklären?

Ich habe folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 } [/mm]

Durch Pivotisieren sollte folgende Matrix entstehen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

Es wäre also eine Matrix 3. Grades. Das ist mir bewusst. Nur: Wie komme ich darauf? Wie finde ich also beispielsweise das Pivotelement, was bringt es mir?

Habt Dank für Eure Hilfe!

Liebe Grüße Stromberg, Bernd Stromberg

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Pivotisieren von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Do 14.01.2016
Autor: Reynir

Hallo,
Definiere mir bitte den Rang einer Matrix.
Zudem erleutere, was du unter pivotisieren und Grad 3 der Matrix verstehst.
Viele grüße,
Reynir
PS.: Für das nächste Mal könntest du eine solche im Forum für Lineare Algebra posten, dann findet sich bestimmt auch schneller jemand, der dir hilft. :)

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Pivotisieren von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 So 17.01.2016
Autor: Bernd_Stromberg

Hallo,

Vielen Dank für deine Antwort :) Ich hatte die Hoffnung auf Hilfe schon fast aufgegeben... :)
Nun, ich meinte mit Rang der Matrix den Spaltenrang / die Dimension.
Laut meiner Mitschrift erfolgt das Pivotisieren um eben diesen Rang festzustellen. Ich versuche dabei möglichst viele Spalten zu Einheitsvektoren umzuformen (Die Anzahl der in der Matrix befindlichen Einheitsvektoren entspricht dem Rang der Matrix). Das funktioniert indem man beispielsweise Zeile 2 der Matrix von Zeile 1 subtrahiert. Soweit bin ich schon. Ich komme dabei nur leider auf kein Ergebnis. Bzw erreiche keine Einheitsvektoren durch das Verfahren. Vermutlich benötigt man dafür eine klare Strategie / Vorgehensweise um das Ziel "so viele Einheitsvektoren wie möglich " zu erreichen. Diese Strategie fehlt mir leider und ich hoffe hier kann sie mir jemand aufweisen? :)

Danke!

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Pivotisieren von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Di 19.01.2016
Autor: Reynir

Also, ich kenne das so, bei einer Matrix kann man mit elementaren Zeilenumformungen eine Zeilenstufenform kriegen (siehe normierte Zeilenstufenform []). Da heißen die führenden Einträge auch Pivotelemente.
Das interessante ist jetzt bezogen auf den Rang, dass er bezogen ist auf die maximale linear unabhängige Anzahl von Zeilen beziehungsweise Spalten der Matrix (die Anzahlen sind sogar gleich).
Jetzt zu deiner Frage, was dir diese Matrixdarstellung bringt, so wie diese Matrix dargestellt ist (deine Zielmatrix) sind die Spaltenvektoren allesamt linear unabhängig, woraus folgt, dass der Bildraum Dimension drei hat und damit deine Matrix Rang 3. Es gilt nämlich eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn sie vollen Rang hat.
Viele Grüße,
Reynir

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Pivotisieren von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 24.01.2016
Autor: Bernd_Stromberg

Hallo Reynir,

danke dir! Der Link ist schon mal sehr hilfreich :)
Ich habe jetzt selbst etwas an der Matrix rumgerechnet, und komme dabei allerdings auf eine andere Ergebnis-Matrix. Sie hat jedoch den gleichen Rang.
Ist das möglich? Oder nur Zufall, dass ich den gleichen Rang herausgefunden habe?
Meine konkrete Frage also: Gibt es mehrere Lösungswege um den Rang zu berechnen, und damit unterschiedliche Lösungs-Matrixen mit dem gleichen Rang? :)

Danke!

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Pivotisieren von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 24.01.2016
Autor: Reynir

Hi,
du hast mit nichts anderem gearbeitet, als mit Elementarumformungen, d.h. deine neue Matrix hat vielleicht nicht unbedingt die selbe Determinante (wenn ich jetzt nicht verwirrt bin) ;) aber es gilt ja : det(AB)=det(A)det(B) und da deine neue Matrix B mit Elementarmatrizen multipliziert wird, kann sie auch geschrieben werden als das Produkt von Elementarmatrizen mit der Matrix B. Elementarmatrizen haben [mm] $det\neq [/mm] 0$ und damit folgt aus der Invertierbarkeit deiner Matrix B (heißt ja voller Rang), dass auch die Ausgangsmatrix vollen Rang gehabt haben muss, also insbesondere kannst du bei dieser Argumentation erkennen.
Zeilenstufenformen sind unter bestimmten Voraussetzungen eindeutig.
Viele Grüße,
Reynir

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Pivotisieren von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Sa 06.02.2016
Autor: Bernd_Stromberg

Hallo Reynir,

danke dir! Der Link ist schon mal sehr hilfreich :)
Ich habe jetzt selbst etwas an der Matrix rumgerechnet, und komme dabei allerdings auf eine andere Ergebnis-Matrix. Sie hat jedoch den gleichen Rang.
Ist das möglich? Oder nur Zufall, dass ich den gleichen Rang herausgefunden habe?
Meine konkrete Frage also: Gibt es mehrere Lösungswege um den Rang zu berechnen, und damit unterschiedliche Lösungs-Matrixen mit dem gleichen Rang? :)

Danke!

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Pivotisieren von Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Sa 06.02.2016
Autor: Reynir

Kopieren und Einfügen?

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Pivotisieren von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 So 07.02.2016
Autor: leduart

Hallo
ja es gibt viele Wege. der übliche ist der Gauss Algorithmus, in dem man eine obere Dreiecksmatrix erzeugt, Du kannst aber auch eine untere Dreiecksmatrix erzeugen, ausserdem kannst du aus jeder Zeile Faktoren rausziehen. Wenn du die Dreiecksmatrix hast kannst du z.B mit Hilfe der letzten Zeile 0 in der letzten Spalte aller anderen Zeilen erzeugen, dann mit der vorletzten 0 in der nächsten Spalte usw.
Um den Rang einer Matrix zu bestimmen ist das allerdings nicht nötig.
Gruß leduart

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