Planetenbewegung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 15.09.2013 | | Autor: | QexX |
| Aufgabe | Die Lösung des Einkörperproblems eines Objekts im Gravitationspotential eines Planeten liefert die Kegelschnittgleichung.
Abhängig von der Energie eines Körpers, kann dieser den Planeten auf Kreis, Ellipse, Hyperbel oder Parabel umkreisen bzw. verlassen.
Ablesen lässt sich dieser Sachverhalt an der Gesamtenergie (E) bzgl. des effektiven Potentials (Veff). So ergeben sich für E<0 und E>Veff Ellipsen. Für E<0 und E=Veff Kreise.
Warum müssen sich die Planeten, welche die Sonne bzw. Erde (etc.) umkreisen dann zwingend auf Ellipsen bewegen, wenn theoretisch doch genauso Kreise möglich wären? |
Hallo zusammen,
rechnet man das Einkörperproblem explizit durch, kommt man letztlich auf die Kegelschnittgleichung und erhält wie oben bereits beschrieben abhängig von der Gesamtenergie E die exakte Bahn der Planeten. Aber wie kommt man letztlich logisch zu der Schlussfolgerung, dass die Bahnen Ellipsen und keine Kreise sind. Was sicher über die Energie zu sagen ist, dass E<0, da es sich ja um gebundene Bewegungen handelt, ansonsten würden sich die Planeten von der Sonne, bzw. Erde entfernen. Aber wenn jetzt noch gilt E=Veff erhält man eine Kreisbahn. Warum ist das nicht so?
Danke schonmal im Voraus,
LG
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Hallo!
Betrachte mal die Form von Veff. Die sieht entfernt so aus, wie eine Gugelhupf-Form. Oder etwas mathematischer: Denk dir das Bild auf http://de.wikipedia.org/wiki/Effektives_Potential um die E-Achse rotiert vor.
Der äußere, ansteigende Teil des Potentials wird von der Gravitation der Sonne erzeugt, der steil ansteigende in der Mitte kommt vom Drehimpuls L. Für einen Planeten ist der Gravitationsteil also konstant, weil der von der Sonne kommt. Für den Drehimpulsteil ist der Planet aber selbst verantwortlich.
Denk dran, der Drehimpuls ist eine konstante, genauer das Produkt aus Entfernung zur Sonne zu Geschwindigkeit senkrecht zu dem Entfernungsvektor. Falls der Planet exakt diese Geschwindigkeit hat, (E=Veff), beschreibt er eine Kreisbahn.
Allerdings verbietet der Drehimpuls nicht, daß der Planet auch noch eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente parallel zum Entfernungsvektor besitzt, denn die geht in die Berechnung ja nicht ein. Das effektive Potential bleibt also gleich, nur die Gesamtenergie ist nun etwas größer (E>Veff)
Was nun passiert ist, daß der Planet in diesem Potential oszilliert, also sich zwischen der mit seiner Energie maximal und minimal möglichen Entfernung zur Sonne hin und her bewegt - während er sich natürlich weiterhin auf einer Bahn um die Sonne bewegt. Interessanterweise ergibt die Überlagerung dieser beiden Bewegungen exakt die Ellipsenbahn.
Also: Planeten können theoretisch zwar auch Kreisbahnen beschreiben, aber da sie beliebige Energien haben können, ist der Fall E=Veff ziemlich unwahrscheinlich, und deshalb haben sie doch alle Ellipsenbahnen.
Dennoch ist es erstaunlich, daß die Bahnen der meisten Planeten auf den ersten Blick wie Kreisbahnen aussehen, und erst bei genauem hinsehen eine Exzentrizität aufweisen.
Nebenbei: Daß die Überlagerung exakt eine Ellipse ergibt, ist eine Eigenschaft der 1/r²-1/r -Form des Potentials. Das Gewicht der Sonne ergibt einen zusätzlichen relativistischen Term für das Potential, und deshalb sind die Planetenbahnen keine exakten Ellipsen, sondern eher Rosetten: Die Position von Periphel und Aphel rotieren auch gaanz langsam um die Sonne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 15.09.2013 | | Autor: | QexX |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, hat sehr geholfen!
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