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Hallo!
Ich möchte die tatsächliche Winkelgeschwindigkeit eines Massepunktes auf dem Planetenrad eines Planetengetriebes berechnen. Folgende Sequenz sollte das besser verdeutlichen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Zahnrad in der Mitte wird auch als Sonnenrad bezeichnet und ist unbeweglich. Die Räder links und rechts davon sind die Planetenräder. Sowohl das große Rad, als auch die Planetenräder bewegen sich entgegen des Uhrzeigersinns. Das kleine Zahnrad ganz rechts kann ignoriert werden. Der blaue Punkt soll den Massepunkt darstellen, dessen Geschwindigkeit (in Bezug zum Sonnenzentrum) ermittelt werden soll.
Das Bild Nr. 2 sowie das linke Planetenrad interessiert mich am meisten, dort wo der Abstand des Massepunktes zum Sonnenzentrum minimal ist. Meine Überlegungen dazu sind die folgenden:
Im Bild Nr. 2 ist beim linken Planetenrad die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um das Sonnenzentrum minimal, da er sich in dem Moment entgegen der Bewegungsrichtung des großen Rades bewegt. Im gegenüberliegenden Fall (bei maximalem Abstand des Punktes zum Sonnenzentrum; rechtes Planetenrad) müsste der Massepunkt dagegen maximale Geschwindigkeit besitzen.
In welchem exakten Verhältnis steht die Winkelgeschwindigkeit des Massepunktes zur Winkelgeschwindigkeit des großen Rades?
Es ist bekannt, dass ein Kreis beim "Abrollen" auf dem Umfang eines anderen, gleichgroßen Kreises für eine Umrundung zwei Drehungen um die eigene Achse ausführt. So ist es auch hier, da Sonnenrad und Planetenräder den gleichen Radius besitzen. Also könnte man davon sprechen, dass die Planetenräder die zweifache Winkelgeschwindigkeit zu der des großen Rades besitzen. (?)
Im Bild Nr. 2 ist der Abstand des Massepunktes zu den zwei Rotationsachsen gleich groß. Damit wird der Punkt vom großen Rad mit Geschwindigkeit w nach unten bewegt, während das Planetenrad ihn mit Geschwindkeit 2w nach oben bewegt. Das würde bedeuten, dass der Massepunkt nicht der Bewegung des großen Rades folgt, sondern an dem Punkt sich entgegengesetzt zu ihr bewegt.
Das ist aber nicht das, was ich intuitiv erwarten würde. Es wäre nett, wenn jemand mir gedanklich auf die Sprünge helfen könnte oder gar aufzeigt, wie sich die Winkelgeschwindigkeit des Massepunktes berechnen lässt.
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hallo!
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> Ich möchte die tatsächliche Winkelgeschwindigkeit eines
> Massepunktes auf dem Planetenrad eines Planetengetriebes
> berechnen. Folgende Sequenz sollte das besser
> verdeutlichen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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>
> Das Zahnrad in der Mitte wird auch als Sonnenrad bezeichnet
> und ist unbeweglich. Die Räder links und rechts davon sind
> die Planetenräder. Sowohl das große Rad, als auch die
> Planetenräder bewegen sich entgegen des Uhrzeigersinns.
> Das kleine Zahnrad ganz rechts kann ignoriert werden. Der
> blaue Punkt soll den Massepunkt darstellen, dessen
> Geschwindigkeit (in Bezug zum Sonnenzentrum) ermittelt
> werden soll.
>
> Das Bild Nr. 2 sowie das linke Planetenrad interessiert
> mich am meisten, dort wo der Abstand des Massepunktes zum
> Sonnenzentrum minimal ist. Meine Überlegungen dazu sind
> die folgenden:
>
> Im Bild Nr. 2 ist beim linken Planetenrad die
> Winkelgeschwindigkeit des Punktes um das Sonnenzentrum
> minimal, da er sich in dem Moment entgegen der
> Bewegungsrichtung des großen Rades bewegt. Im
> gegenüberliegenden Fall (bei maximalem Abstand des Punktes
> zum Sonnenzentrum; rechtes Planetenrad) müsste der
> Massepunkt dagegen maximale Geschwindigkeit besitzen.
>
> In welchem exakten Verhältnis steht die
> Winkelgeschwindigkeit des Massepunktes zur
> Winkelgeschwindigkeit des großen Rades?
>
> Es ist bekannt, dass ein Kreis beim "Abrollen" auf dem
> Umfang eines anderen, gleichgroßen Kreises für eine
> Umrundung zwei Drehungen um die eigene Achse ausführt. So
> ist es auch hier, da Sonnenrad und Planetenräder den
> gleichen Radius besitzen. Also könnte man davon sprechen,
> dass die Planetenräder die zweifache Winkelgeschwindigkeit
> zu der des großen Rades besitzen. (?)
>
> Im Bild Nr. 2 ist der Abstand des Massepunktes zu den zwei
> Rotationsachsen gleich groß. Damit wird der Punkt vom
> großen Rad mit Geschwindigkeit w nach unten bewegt,
> während das Planetenrad ihn mit Geschwindkeit 2w nach oben
> bewegt. Das würde bedeuten, dass der Massepunkt nicht der
> Bewegung des großen Rades folgt, sondern an dem Punkt sich
> entgegengesetzt zu ihr bewegt.
>
> Das ist aber nicht das, was ich intuitiv erwarten würde.
> Es wäre nett, wenn jemand mir gedanklich auf die Sprünge
> helfen könnte oder gar aufzeigt, wie sich die
> Winkelgeschwindigkeit des Massepunktes berechnen lässt.
>
> Christian
Hallo Christian,
wenn ich das richtig verstanden habe, sollte das große
Rad wohl auch innen Zähne haben (die in der Zeichnung
nicht dargestellt sind) , oder ?
Dann nehme ich mal an, dass das fixe Sonnenrad und
die beiden Planetenräder alle den Radius r=1 haben,
und den Radius des großen Rades bezeichne ich mit R.
Diese Radien sind so zu verstehen, dass sie vom Rad-
zentrum bis zu jenem Kreis reichen, auf dem der Kraft-
schluss zu den benachbarten Rädern erfolgt. So können
wir geometrisch mit Kreisen rechnen, die sich gegenseitig
berühren.
Für unsere Betrachtung genügt es, wenn wir das
Sonnenrad S, ein Planetenrad P und des große Rad G
betrachten. Das Sonnenrad hat die Winkelgeschwindigkeit
[mm] \omega_S=0 [/mm] . Das Planetenrad P hat eine Eigenrotation
mit einer Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega_P [/mm] sowie eine
"Revolutionsgeschwindigkeit" [mm] \Omega_P [/mm] (das ist die Winkelge-
schwindigkeit, mit der sich sein Zentrum um das
Zentrum des Rades S herum bewegt).
Die Winkelgeschwindigkeit von G sei entsprechend [mm] \omega_G [/mm] .
Gehen wir einmal davon aus, dass [mm] \Omega_P [/mm] vorgegeben sei.
Dann ist [mm] \omega_P=2*\Omega_P [/mm] . Das hast du schon erwähnt,
und ich habe es mir gerade mal rasch noch im Modell
vor Augen geführt, und zwar mit zwei Kronkorken, die
so "rein zufällig" in Reichweite neben meinem Powerbook
lagen ... Den einen drücke ich (als "Sonnenrad") mit einem
Finger der linken Hand auf die Unterlage, und den anderen
positioniere ich zuerst rechts davon, und zwar so mit dem
ersten verzahnt, dass seine Aufschrift "Bière d'Abbaye blonde"
schön waagrecht liegt. Dann wird dieser Deckel, immer
gut verzahnt mit dem ersten, einmal rings um diesen geführt.
Und es wird klar, dass dieser Deckel genau zwei volle (Eigen-)
Umdrehungen gemacht hat.
Nun ist es Zeit, die Geometrie etwas genauer zu be-
schreiben. Dazu bezeichne ich das Zentrum des Sonnenrades
mit O, das Zentrum von P mit M und einen Punkt auf dem
Umfang von P mit A. Für die Startsituation bei t=0 sei der
Punkt A ganz rechts außen, wo er auch auf dem großen
Kreis (mit R=3) und auf der x-Achse des Koordinatensystems
liegt. Zum Zeitpunkt t=0 haben wir also O(0|0), M(2|0), A(3|0).
Für einen beliebigen Zeitpunkt t haben wir:
$\ O(0|0)$
$\ [mm] M(2*cos(\Omega_P*t)\ [/mm] |\ [mm] 2*sin(\Omega_P*t))$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{MA}\ [/mm] =\ [mm] (1*cos(\omega_P*t)\ [/mm] |\ [mm] 1*sin(\omega_P*t))\ [/mm] =\ [mm] (cos(2*\Omega_P*t)\ [/mm] |\ [mm] sin(2*\Omega_P*t))$
[/mm]
$\ [mm] A(2*cos(\Omega_P*t)+cos(2*\Omega_P*t)\ [/mm] |\ [mm] 2*sin(\Omega_P*t)+sin(2*\Omega_P*t))$
[/mm]
Mittels dieser Formel ist die Bewegung des Punktes A
beschrieben, und man kann sich die Bahnkurve z.B.
mit einem geeigneten Plot-Programm zeichnen lassen
und sie ferner mittels Differentialrechnung untersuchen.
Ich sehe in der Aufgabe auch ein ganz nettes Beispiel
für eine Darstellung mittels GeoGebra.
So, den Rest (z.B. bezüglich des Rades R) will ich
dir jetzt doch selbst überlassen.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo,
> wenn ich das richtig verstanden habe, sollte das große
> Rad wohl auch innen Zähne haben (die in der Zeichnung
> nicht dargestellt sind) , oder ?
Nicht unbedingt. Das große Rad ist massiv und die Planetenräder sind an einem Punkt auf ihm befestigt, sind aber um diesen Punkt frei beweglich. Du hast aber recht, dass es in dieser Darstellung kein klassisches Getriebe ist.
> Dann nehme ich mal an, dass das fixe Sonnenrad und
> die beiden Planetenräder alle den Radius r=1 haben,
> und den Radius des großen Rades bezeichne ich mit R.
> Diese Radien sind so zu verstehen, dass sie vom Rad-
> zentrum bis zu jenem Kreis reichen, auf dem der Kraft-
> schluss zu den benachbarten Rädern erfolgt. So können
> wir geometrisch mit Kreisen rechnen, die sich gegenseitig
> berühren.
> Für unsere Betrachtung genügt es, wenn wir das
> Sonnenrad S, ein Planetenrad P und des große Rad G
> betrachten. Das Sonnenrad hat die Winkelgeschwindigkeit
> [mm]\omega_S=0[/mm] . Das Planetenrad P hat eine Eigenrotation
> mit einer Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega_P[/mm] sowie eine
> "Revolutionsgeschwindigkeit" [mm]\Omega_P[/mm] (das ist die
> Winkelge-
> schwindigkeit, mit der sich sein Zentrum um das
> Zentrum des Rades S herum bewegt).
> Die Winkelgeschwindigkeit von G sei entsprechend [mm]\omega_G[/mm]
Ja.
> Gehen wir einmal davon aus, dass [mm]\Omega_P[/mm] vorgegeben
> sei.
> Dann ist [mm]\omega_P=2*\Omega_P[/mm] . Das hast du schon
> erwähnt,
> und ich habe es mir gerade mal rasch noch im Modell
> vor Augen geführt, und zwar mit zwei Kronkorken, die
> so "rein zufällig" in Reichweite neben meinem Powerbook
> lagen ... Den einen drücke ich (als "Sonnenrad") mit
> einem
> Finger der linken Hand auf die Unterlage, und den anderen
> positioniere ich zuerst rechts davon, und zwar so mit dem
> ersten verzahnt, dass seine Aufschrift "Bière d'Abbaye
> blonde"
> schön waagrecht liegt. Dann wird dieser Deckel, immer
> gut verzahnt mit dem ersten, einmal rings um diesen
> geführt.
> Und es wird klar, dass dieser Deckel genau zwei volle
> (Eigen-)
> Umdrehungen gemacht hat.
Ja.
> Nun ist es Zeit, die Geometrie etwas genauer zu be-
> schreiben. Dazu bezeichne ich das Zentrum des Sonnenrades
> mit O, das Zentrum von P mit M und einen Punkt auf dem
> Umfang von P mit A. Für die Startsituation bei t=0 sei
> der
> Punkt A ganz rechts außen, wo er auch auf dem großen
> Kreis (mit R=3) und auf der x-Achse des
> Koordinatensystems
> liegt. Zum Zeitpunkt t=0 haben wir also O(0|0), M(2|0),
> A(3|0).
Bis hierhin verstehe ich alles.
> Für einen beliebigen Zeitpunkt t haben wir:
>
> [mm]\ O(0|0)[/mm]
>
> [mm]\ M(2*cos(\Omega_P*t)\ |\ 2*sin(\Omega_P*t))[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{MA}\ =\ (1*cos(\omega_P*t)\ |\ 1*sin(\omega_P*t))\ =\ (cos(2*\Omega_P*t)\ |\ sin(2*\Omega_P*t))[/mm]
>
> [mm]\ A(2*cos(\Omega_P*t)+cos(2*\Omega_P*t)\ |\ 2*sin(\Omega_P*t)+sin(2*\Omega_P*t))[/mm]
>
> Mittels dieser Formel ist die Bewegung des Punktes A
> beschrieben, und man kann sich die Bahnkurve z.B.
> mit einem geeigneten Plot-Programm zeichnen lassen
> und sie ferner mittels Differentialrechnung untersuchen.
Über die Bahnkurve bin ich mir sicher und vermute nun, dass die Winkelgeschwindigkeit des Punktes zum Sonnenzentrum an dieser Position null ist.
> LG , Al-Chwarizmi
Besten Dank,
Christian
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> Hallo,
>
>
> > wenn ich das richtig verstanden habe, sollte das große
> > Rad wohl auch innen Zähne haben (die in der Zeichnung
> > nicht dargestellt sind) , oder ?
>
> Nicht unbedingt. Das große Rad ist massiv und die
> Planetenräder sind an einem Punkt auf ihm befestigt,
Aha !
Davon hast du aber vorher leider gar nichts gesagt.
Ich fragte mich natürlich, wie es die beiden Planeten-
räder schaffen, einander stets gegenüber zu bleiben.
Das wäre auch mit einer zusätzlichen (in der Zeichnung
nicht dargestellten) Verbindung möglich oder eben
dadurch, dass beide auch in einen Innenzahnkranz des
großen Rades greifen. Dies habe ich angenommen und
aufgrund dieser Annahme berechnet, dass sich das
große Rad mit einer Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega_G
[/mm]
drehen müsste mit
[mm] $\omega_G\ [/mm] =\ [mm] \frac{4}{3}* \Omega_P [/mm] $ (!)
> sind aber um diesen Punkt frei beweglich. Du hast aber recht,
> dass es in dieser Darstellung kein klassisches Getriebe
> ist.
Nach der (für mich) neuen Sichtweise, dass die Planeten-
räder auf Achsen rotieren, die auf dem großen Rad fest
montiert sind, ist es natürlich rechnerisch einfacher,
nämlich einfach:
[mm] $\omega_G\ [/mm] =\ [mm] \Omega_P [/mm] $
> > Dann nehme ich mal an, dass das fixe Sonnenrad und
> > die beiden Planetenräder alle den Radius r=1 haben,
> > und den Radius des großen Rades bezeichne ich mit R.
> > Diese Radien sind so zu verstehen, dass sie vom Rad-
> > zentrum bis zu jenem Kreis reichen, auf dem der Kraft-
> > schluss zu den benachbarten Rädern erfolgt. So
> können
> > wir geometrisch mit Kreisen rechnen, die sich
> gegenseitig
> > berühren.
> > Für unsere Betrachtung genügt es, wenn wir das
> > Sonnenrad S, ein Planetenrad P und des große Rad G
> > betrachten. Das Sonnenrad hat die
> Winkelgeschwindigkeit
> > [mm]\omega_S=0[/mm] . Das Planetenrad P hat eine Eigenrotation
> > mit einer Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega_P[/mm] sowie eine
> > "Revolutionsgeschwindigkeit" [mm]\Omega_P[/mm] (das ist die
> > Winkelge-
> > schwindigkeit, mit der sich sein Zentrum um das
> > Zentrum des Rades S herum bewegt).
> > Die Winkelgeschwindigkeit von G sei entsprechend
> [mm]\omega_G[/mm]
>
> Ja.
>
>
>
> > Gehen wir einmal davon aus, dass [mm]\Omega_P[/mm] vorgegeben
> > sei.
> > Dann ist [mm]\omega_P=2*\Omega_P[/mm] . Das hast du schon
> > erwähnt,
> > und ich habe es mir gerade mal rasch noch im Modell
> > vor Augen geführt, und zwar mit zwei Kronkorken, die
> > so "rein zufällig" in Reichweite neben meinem Powerbook
> > lagen ... Den einen drücke ich (als "Sonnenrad") mit
> > einem
> > Finger der linken Hand auf die Unterlage, und den
> anderen
> > positioniere ich zuerst rechts davon, und zwar so mit
> dem
> > ersten verzahnt, dass seine Aufschrift "Bière d'Abbaye
> > blonde"
> > schön waagrecht liegt. Dann wird dieser Deckel, immer
> > gut verzahnt mit dem ersten, einmal rings um diesen
> > geführt.
> > Und es wird klar, dass dieser Deckel genau zwei volle
> > (Eigen-)
> > Umdrehungen gemacht hat.
>
> Ja.
>
>
> > Nun ist es Zeit, die Geometrie etwas genauer zu be-
> > schreiben. Dazu bezeichne ich das Zentrum des
> Sonnenrades
> > mit O, das Zentrum von P mit M und einen Punkt auf dem
> > Umfang von P mit A. Für die Startsituation bei t=0 sei
> > der
> > Punkt A ganz rechts außen, wo er auch auf dem großen
> > Kreis (mit R=3) und auf der x-Achse des
> > Koordinatensystems
> > liegt. Zum Zeitpunkt t=0 haben wir also O(0|0),
> M(2|0),
> > A(3|0).
>
> Bis hierhin verstehe ich alles.
>
>
> > Für einen beliebigen Zeitpunkt t haben wir:
> >
> > [mm]\ O(0|0)[/mm]
> >
> > [mm]\ M(2*cos(\Omega_P*t)\ |\ 2*sin(\Omega_P*t))[/mm]
> >
> > [mm]\overrightarrow{MA}\ =\ (1*cos(\omega_P*t)\ |\ 1*sin(\omega_P*t))\ =\ (cos(2*\Omega_P*t)\ |\ sin(2*\Omega_P*t))[/mm]
>
> >
> > [mm]\ A(2*cos(\Omega_P*t)+cos(2*\Omega_P*t)\ |\ 2*sin(\Omega_P*t)+sin(2*\Omega_P*t))[/mm]
>
> >
> > Mittels dieser Formel ist die Bewegung des Punktes A
> > beschrieben, und man kann sich die Bahnkurve z.B.
> > mit einem geeigneten Plot-Programm zeichnen lassen
> > und sie ferner mittels Differentialrechnung
> untersuchen.
>
> Über die Bahnkurve bin ich mir sicher und vermute nun,
> dass die Winkelgeschwindigkeit des Punktes zum
> Sonnenzentrum an dieser Position null ist.
Ja, die Bahnkurve ist eine sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Kardioide (Herzkurve),
und tatsächlich hat ist in dem "Umkehrpunkt", wo die
Kurve den inneren Kreis berührt (und wo ein Zahn des
Planetenrades gerade exakt zwischen zwei Zähne des
Sonnenrades greift, der Geschwindigkeitsvektor des
betreffenden Punktes gleich dem Nullvektor. Damit
ist natürlich dann auch das diesem Punkt entsprechende
(variable) [mm] \omega_{\overrightarrow{OA}}(t) [/mm] gleich null.
LG , Al-Chwarizmi
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:EpitrochoidOn1.gif){kind=small}
Kardioide