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| Aufgabe | Es seien zufällige Punkte 0 < [mm] T_1 [/mm] < [mm] T_2 [/mm] < ... auf der positiven Achse gegeben. Für 0 [mm] \leq [/mm] a < b sei N(a,b] die Anzahl dieser Punkte, die im Intervall (a,b] liegen.
Die Familie der N(a,b] mit 0 [mm] \leq [/mm] a < b erfülle die Axiome (P1)-(P5). Wir betrachten die Abstände [mm] \tau_k [/mm] = [mm] T_k [/mm] - [mm] T_{k-1} [/mm] , wobei [mm] k\in\IN [/mm] und [mm] T_0 [/mm] = 0, zwischen aufeinanderfolgenden zufälligen Punkten.
Zeigen sie, dass [mm] \tau_2 [/mm] und [mm] \tau_1 [/mm] unabhänige, zum Parameter [mm] \alpha =\mathbb{E} [/mm] (N(0,1]) exponentialverteilte Zufallsgrößen sind.
Hinweis: Zeigen sie zunächst, dass die Abbildung [mm] (t_1,t_2)\mapsto \alpha^2 e^{-\alpha t_2}\mathbbm{1} _{\{0\leq t1 < t2\}} [/mm] eine Dichte des Zufallsvektors (T1,T2) ist. |
Mein Problem ist leider hier ziemlich groß, da ich bis jetzt nur triviale Sachen erkennen konnte =(.
Ich konnte beim Hinweis zeigen, dass es eine Dichte ist, wie man aber zeigt, dass sie zum Zufallsvektor [mm] (T_1, T_2) [/mm] gehört weiß ich leider noch nicht...ich sehe bis jetzt allerdings nicht einmal wo genau mir die Dichte helfen sollte.
Wir wissen, dass N(a,b] auch N(a, a+ (b-a)] ist, und damit [mm] N_b [/mm] - [mm] N_a [/mm] , wobei gilt:
[mm] N_b [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^k \mathbbm{1}_{[0,b]}T_l [/mm]
[mm] N_a [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^k \mathbbm{1}_{[0,a]}T_l [/mm]
N(a,b] ist außerdem Poisson-verteilt zum Parameter [mm] (b-a)\alpha [/mm] .
also zu den [mm] \tau [/mm] ´s:
[mm] \tau_1 [/mm] = [mm] T_1 [/mm] - [mm] T_0 [/mm] = [mm] T_1
[/mm]
[mm] \tau_2 [/mm] = [mm] T_2 [/mm] - [mm] T_1
[/mm]
und ab jetzt ist alles geraten:
[mm] N_1 [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^1 \mathbbm{1}_{[0,1]}T_l
[/mm]
[mm] N_2 [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^2 \mathbbm{1}_{[0,2]}T_l [/mm]
(stimmen die Intervalle überhaupt?)
Dann wären
[mm] \tau_1 [/mm] = [mm] N_1 [/mm] = N(0,1], also eine Poisson verteilte ZV mit Parameter [mm] \alpha
[/mm]
und
[mm] \tau_2 [/mm] = [mm] N_2 [/mm] - [mm] 2N_1 [/mm] = [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] - [mm] 2T_1 [/mm] = [mm] T_2 [/mm] - [mm] T_1
[/mm]
und da [mm] N_2 [/mm] ja eine Poisson verteilte ZV mit Parameter [mm] 2\alpha [/mm] ist würde ich so auf eine Lösung kommen...
Ich habe es allerdings noch nicht nachgerechnet, da ich mit ziemlich sicher bin, dass das so nicht klappt immerhin soll [mm] \tau [/mm] ja exponentialverteilt sein, aber [mm] \tau_1 [/mm] wäre bei mir Poisson Verteilt.
Außerdem kommt so der Hinweis nicht zur Anwendung.
Wie muss ich hier also rangehen?
Ist mein kompletter Ansatz falsch, bzw könnt ihr mir bitte helfen, einen guten Ansatz zu finden?
Viele Grüße
Jeany
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Di 12.06.2012 | | Autor: | Causal |
Ich hätte auch Intresse an einer Lösung.
Bin auch grad am verzweifeln.
MfG
Causal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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