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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 10.11.2014 | | Autor: | kiwipou |
| Aufgabe | gesucht sind alle Lösungen der Gleichung
[mm] z^6+17=0 [/mm] |
Hallo ihr Lieben
ich habe ein problem beim lösen meiner hausaufgabe. gesucht sind alle lösungen der gleichung [mm] z^6+17=0
[/mm]
dazu habe ich die polardarstellung gewählt und für k=0 zum beispiel: z^(1/6)=r^(1/6)*cos(phi/6)+i*sin(Phi/6)
mein problem ist jetzt, das r zu berechnen. ich weiß bereits, dass r= Wurzel aus [mm] z^2 [/mm] gilt bzw r ist der betrag von z. heißt das, dass mein r hier 17 sein muss? oder wurzel 17? das kommt mir seltsam vor.
weiß vielleicht jemand, wie man r berechnet unter der Bedinung r= Betrag von z?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
ich bin dankbar für jede Hilfe
Lg
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> gesucht sind alle Lösungen der Gleichung
> [mm]z^6+17=0[/mm]
> dazu habe ich die polardarstellung gewählt und für k=0
> zum beispiel: z^(1/6)=r^(1/6)*cos(phi/6)+i*sin(Phi/6)
> mein problem ist jetzt, das r zu berechnen. ich weiß
> bereits, dass r= Wurzel aus [mm]z^2[/mm] gilt bzw r ist der betrag
> von z. heißt das, dass mein r hier 17 sein muss? oder
> wurzel 17? das kommt mir seltsam vor.
> weiß vielleicht jemand, wie man r berechnet unter der
> Bedinung r= Betrag von z?
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zuallererst solltest du dich entscheiden, was bei dir
jetzt mit z bezeichnet werden soll. Du verwendest
nämlich das z einerseits für die Lösungsvariable, dann
aber auch für die Zahl, aus welcher hier komplexe
Wurzeln gezogen werden sollen. Ein solches Durch-
einander muss unbedingt vermieden werden !
Die zu lösende Gleichung ist [mm]z^6+17\ =\ 0[/mm]
was man auch schreiben kann als [mm]z^6\ =\ -17[/mm]
Nun dürfen wir die rechts stehende Zahl -17 eben
nicht auch wieder mit z bezeichnen, sondern
meinetwegen mit a.
So, nun weißt du wohl: Wenn a = [mm] z^6 [/mm] ist, dann muss
$\ |a|\ =\ [mm] |z|^6$ [/mm] und $\ arg(a)\ =\ 6*arg(z)$ sein
(letztere Gleichung ist modulo $\ [mm] 2\,\pi$ [/mm] zu verstehen).
Jetzt zuerst zur Zahl a = -17 . Welchen Betrag |a| und
welchen Argumentwinkel arg(a) = [mm] \Phi [/mm] hat diese Zahl ?
Im nächsten Schritt kannst du dich dem Wert (bzw. den
möglichen Werten) von z zuwenden. Es muss ja nun
eben z.B. gelten: $\ [mm] |z|^6\ [/mm] =\ |a|$ .
Zunächst mal nur so viel.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 10.11.2014 | | Autor: | kiwipou |
erstmal vielen Dank für die Antwort.
das heißt also, dass [mm] |-17|=|z|^6 [/mm] sein muss und somit: z=17^(1/6)=1,604
nur ich weiß jetzt nicht so recht, wie es weitergeht. Und wie macht man das mit arg(a)=6*arg(z)? das mit dem Argument kenne ich leider gar nicht. Ist das denn nötig, um r berechnen zu können?
Lg
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> erstmal vielen Dank für die Antwort.
> das heißt also, dass [mm]|-17|=|z|^6[/mm] sein muss und somit:
> z=17^(1/6)=1,604 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Stop ! Das ist noch nicht z persönlich, sondern erst mal |z| !
> nur ich weiß jetzt nicht so recht, wie es weitergeht. Und
> wie macht man das mit arg(a)=6*arg(z)? das mit dem Argument
> kenne ich leider gar nicht. Ist das denn nötig, um r
> berechnen zu können?
Den Radius r , also $\ r\ =\ |z|\ =\ [mm] \sqrt[6]{17}\ \approx\ [/mm] 1.6035$
ist ja schon bekannt !
Jetzt geht es noch um die möglichen Polarwinkel der möglichen
Lösungen [mm] z_k [/mm] . Bezeichnen wir diese Winkel mal mit [mm] \alpha_k [/mm] .
Es muss gelten:
$\ [mm] 6\,*\,\alpha_k\ [/mm] =\ [mm] \Phi$ [/mm] (*)
wobei wir [mm] \Phi [/mm] für den Argument- (oder Polar-Winkel) der
Ausgangszahl a = -17 schreiben.
Wie groß ist dieser Polarwinkel der Zahl a = -17 , die
in der Gaußschen Ebene auf dem linken (negativen)
Abschnitt der reellen Achse liegt ?
Aus der obigen Gleichung (*) kannst du dann leicht
einen ersten möglichen Winkel [mm] \alpha_1 [/mm] berechnen.
Da man die Gleichung (*) aber sinnvollerweise
so schreiben sollte:
$\ [mm] 6\,*\,\alpha_k\ [/mm] =\ [mm] \Phi\,+\, m*(\,2\,\pi\,)$ [/mm] mit [mm] m\in\IZ
[/mm]
(ist dir klar, weshalb ?)
gibt es nicht nur den einen schon ermittelten Winkel
[mm] \alpha_1 [/mm] , sondern noch weitere. Wie viele insgesamt ?
Und wie viele davon brauchen wir tatsächlich ?
LG , Al-Chwarizmi
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