Polarform < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Hi Leute ich hab mal ne Frage zu den komplexen Zahlen? |
z = r [mm] \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} [/mm] = r [mm] \cdot (\cos \varphi [/mm] + [mm] \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)
[/mm]
[mm] e^{\mathrm{i}\varphi}=(\cos \varphi [/mm] + [mm] \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)
[/mm]
Jetzt verstehe ich nciht wie diese letzte Formel zustande kommt.
Ich fidne auch nirgends eine Herleitung dafür kann mir da vllt. i-eienr weiterhelfen?
e= eulersche Zahl
phi= Winkel der Polarkoordinaten
und i steht für 1?????? aber wiso muss ich es dann erwähnen
Bitte um Hilfe ^^
|
|
| |
|
Hallo Anfaenger7,
> Hi Leute ich hab mal ne Frage zu den komplexen Zahlen?
> z = r [mm]\cdot e^{\mathrm{i}\varphi}[/mm] = r [mm]\cdot (\cos \varphi[/mm]
> + [mm]\mathrm{i} \cdot \sin \varphi)[/mm]
>
> [mm]e^{\mathrm{i}\varphi}=(\cos \varphi[/mm] + [mm]\mathrm{i} \cdot \sin \varphi)[/mm]
>
> Jetzt verstehe ich nciht wie diese letzte Formel zustande
> kommt.
> Ich fidne auch nirgends eine Herleitung dafür kann mir da
> vllt. i-eienr weiterhelfen?
>
> e= eulersche Zahl
> phi= Winkel der Polarkoordinaten
> und i steht für 1?????? aber wiso muss ich es dann
[mm]i:=\wurzel{-1}[/mm]
> erwähnen
>
> Bitte um Hilfe ^^
Setze in die Exponentialreihe
[mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
für x das Argument [mm]i*\varphi[/mm] ein.
Trenne dann die erhaltene Reihen in Real- und Imaginärteil.
Dann erhältst Du zwei bekannte Reihen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
$ [mm] e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] $
wenn ich für x das Argument $ [mm] i\cdot{}\varphi [/mm] $ einsetze dann erhalte ich:
$ [mm] e^x=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(i*\varphi)^{k}}{k!} [/mm] $= 1+ [mm] (i*\varphi)^{1}+(i*\varphi)^{2}/2 [/mm] ....
Der imaginärteil ist jetzt i, [mm] i^2, i^3 [/mm] usw.... und der Realteil ist dann der Winkel [mm] \varphi [/mm] oder?
wenn ich diese Reihe teile eralte ich zum einen
a) 1+ 1/2 + 1/6...
b) 1, i [mm] ,i^2 [/mm] ...
oder???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anfänger!
Zum einen solltest Du auch im Hinterkopf die Potenzreihen von [mm] $\sin(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(x)$ [/mm] haben.
Zum anderen solltest Du die Terme [mm] $i^{4k}$ [/mm] , [mm] $i^{4k+1}$ [/mm] , [mm] $i^{4k+2}$ [/mm] sowie [mm] $i^{4k+3}$ [/mm] untersuchen.
Handelt es sich hier immer um eine rein imaginäre Zahl oder auch um relle Zahlen?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ok
$ [mm] i^{4k} [/mm] $ , $ [mm] i^{4k+1} [/mm] $ , $ [mm] i^{4k+2} [/mm] $,$ [mm] i^{4k+3} [/mm] $
ergeben die Koordinaten (1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1) und zwar unabhängig von k
und die Potenzreihe von sinx und cosx hab ich mir auch angeschaut
entspricht das phi Zeicehn denn dem cosx bzw sinx??
Ich glaueb es wäre Hilfreicher wenn ihr mir das an einem beispiel aufschlüsselt :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich denke das Gespräch geht aneinander vorbei!
Ich mach mal den Anfang:
[mm] $e^x=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
[mm] $e^{i\phi}=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^k}{k!}$
[/mm]
Jetzt Schreiben wir diese Summe mal als 2 Summen indem du jedes 2. Summengleid in eine Extrasumme packst:
[mm] $\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^k}{k!}=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k}}{k!}+\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k+1}}{(2k+1)!}$
[/mm]
Jetzt siehst du vllt wo es hingeht!
Ein anderer Weg sich das zu überlegen was du möchtest, ist erstmal zu zeigen, dass [mm] $|e^{1\phi}|=1$ [/mm] für alle [mm] $\phi$ [/mm] (ist ganz einfach über die Definition vom Betrag komplexer Zahlen!), d.h. [mm] e^{ix} [/mm] bildet einen beliebigen Winkel auf den Einheitskreis ab.
Kennst du zufällig einen Parametrisierung für den Einheitskreis?
lg Kai
|
|
|
| |
|
Also dass ist dann der Realteil : [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k}}{k!}
[/mm]
und das ist der Imaginärteil [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $
Der Betrag der Komplexen Zahlen sieht so aus |z| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2}
[/mm]
Ist somit a = [mm] \bruch{(i\phi)^{2k}}{k!}
[/mm]
und [mm] b=\bruch{(\phi)^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $
???
|
|
|
| |
|
Hmm... so war das nicht gedacht!
Das war ein Hinweis auf einen anderen Weg, nicht beide vermischen!
> Also dass ist dann der Realteil :
> [mm]\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k}}{k!}[/mm]
>
> und das ist der Imaginärteil
> [mm]\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{(i\phi)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm] $
Deine Reihen Stimmen nicht so ganz:
Beim Realteil ist im Nenner ein $(2k)!$ und beim Imaginärteil hast du vergessen dass da ja $z=Re + [mm] \red{i}*Im$!
[/mm]
Und jetzt weißt du noch dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] ist, das darf man auch verwenden! ;)
>
> Der Betrag der Komplexen Zahlen sieht so aus |z| =
> [mm]\sqrt{a^2 + b^2}[/mm]
>
Der Betrag eine komplexen Zahl so wie ich das meine ist $|z|=z*z^*$
Also z mit der konjugiert komplexen multipliziert...
> Ist somit a = [mm]\bruch{(i\phi)^{2k}}{k!}[/mm]
> und [mm]b=\bruch{(\phi)^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm] $
>
> ???
lg Kai
|
|
|
| |
|
Alos meine Ausgangsfrage war ja
[mm] \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} [/mm] = [mm] \cdot (\cos \varphi [/mm] + [mm] \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)
[/mm]
Somit ist [mm] a:=cos\varphi [/mm] und b [mm] =sin\varphi
[/mm]
Also ist der Betrag [mm] |z|=\wurzel[2]{(cos\varphi)^2+(sin\varphi)^2}
[/mm]
Aber wie komme ich davon auf eine e-Funktion??
|
|
|
| |
|
Du hättest ruhig erstmal die andere Antwort abwarten können ;)
> Alos meine Ausgangsfrage war ja
>
> [mm]\cdot e^{\mathrm{i}\varphi}[/mm] = [mm]\cdot (\cos \varphi[/mm] +
> [mm]\mathrm{i} \cdot \sin \varphi)[/mm]
>
> Somit ist [mm]a:=cos\varphi[/mm] und b [mm]=sin\varphi[/mm]
>
> Also ist der Betrag
> [mm]|z|=\wurzel[2]{(cos\varphi)^2+(sin\varphi)^2}[/mm]
>
> Aber wie komme ich davon auf eine e-Funktion??
Was ist denn [mm] $cos^2+sin^2$? [/mm] Sagt dir der trigonometrische Pythagoras was?
Der 2. Weg ist etwas argumentativ. Du wirst sehen das [mm] $|e^{i\phi}|=1$, [/mm] für alle [mm] $\phi$, [/mm] d.h. alle Winkel werden auf den Einheitskreis abgebildet. Jetzt brauchst du noch die Parametrisierung davon!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mo 13.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok
> [mm]i^{4k}[/mm] , [mm]i^{4k+1}[/mm] , [mm]i^{4k+2} [/mm],[mm] i^{4k+3}[/mm]
> ergeben die
> Koordinaten (1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1) und zwar unabhängig
> von k
Darum geht es nicht direkt. Wichtig ist: [mm] i^2=-1, i^4=1, i^6=-1 [/mm] ...
das sind also rein reelle Werte.
Nur i, [mm] i^3, i^5 [/mm] ... sind imaginär.
Gruß Abakus
>
> und die Potenzreihe von sinx und cosx hab ich mir auch
> angeschaut
>
>
> entspricht das phi Zeicehn denn dem cosx bzw sinx??
> Ich glaueb es wäre Hilfreicher wenn ihr mir das an einem
> beispiel aufschlüsselt :)
|
|
|
|
