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| Aufgabe | Sei z in Polarkoordinaten gegeben durch:
[mm] z=2*e^{i*\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
Berechnen Sie die kartestische Darstellung von z. |
Hallo.
Ich soll die obige Aufgabe rechnen und weiß gerade nicht weiter.
[mm] |z|=r=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
a=r*cos [mm] \alpha
[/mm]
b=r*sin [mm] \alpha
[/mm]
Die Formeln haben wir in der Uni aufgeschrieben.
[mm] e^{i*\bruch{\pi}{3}} [/mm] kann ich umschreiben in:
[mm] e^{i^{\bruch{\pi}{3}}}
[/mm]
wie auch als
[mm] \wurzel[3]{e^{i*\pi}}
[/mm]
Meine Frage lautet eigentlich, wie bzw. wohin ich auflösen muss, damit ich auf die Form z=a+bi komme.
Gegeben habe ich weder r, noch den Betrag von z, noch einen Winkel.
Oder ist r=z, also die Abstandskoordinate?
Bitte postet keine Lösungen.
Ein einfacher Hinweis, Anstubs etc. sollen für den Anfang reichen.
Danke im Voraus.
Viele Grüße
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> Sei z in Polarkoordinaten gegeben durch:
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> [mm]z=2*e^{i*\bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
> Berechnen Sie die kartestische Darstellung von z.
> Hallo.
>
> Ich soll die obige Aufgabe rechnen und weiß gerade nicht
> weiter.
>
> [mm]|z|=r=\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
>
> a=r*cos [mm]\alpha[/mm]
> b=r*sin [mm]\alpha[/mm]
>
> Die Formeln haben wir in der Uni aufgeschrieben.
>
> [mm]e^{i*\bruch{\pi}{3}}[/mm] kann ich umschreiben in:
>
> [mm]e^{i^{\bruch{\pi}{3}}}[/mm]
>
> wie auch als
>
> [mm]\wurzel[3]{e^{i*\pi}}[/mm]
>
> Meine Frage lautet eigentlich, wie bzw. wohin ich auflösen
> muss, damit ich auf die Form z=a+bi komme.
>
> Gegeben habe ich weder r, noch den Betrag von z, noch einen
> Winkel.
> Oder ist r=z, also die Abstandskoordinate?
> Bitte postet keine Lösungen.
> Ein einfacher Hinweis, Anstubs etc. sollen für den Anfang
> reichen.
also hier der hinweis:
[mm] e^{ix} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x + [mm] i\sin [/mm] x [mm] \!
[/mm]
>
> Danke im Voraus.
>
> Viele Grüße
gruß tee
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Hallo und danke für die Antwort.
Entschuldigt, dass ich jetzt erst schreibe, aber gestern war ich sehr unmotiviert, weswegen jetzt erst dieser Post entsteht :).
Ich habe mir die von die gegebene Umformung angeschaut und habe folgendes raus:
[mm] 2*(cos(\bruch{\pi}{3})+i*sin(\bruch{\pi}{3})
[/mm]
[mm] x=2*cos(\bruch{\pi}{3}=1 [/mm]
[mm] y=2*i*sin(\bruch{\pi}{3}=i*1.732050808 [/mm]
x+iy=1+1.73205808
So richtig?
y ist eine irrationale Zahl laut meinem Taschenrechner.
Ich habe mal geschaut und es scheint als wäre [mm] \wurzel{3}*i=i*y
[/mm]
Nur wie komme ich auf sowas ohne Taschenrechner?
Grüße und danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Lösung ist richtig, nur deine Schreibweise falsch
> [mm]2*(cos(\bruch{\pi}{3})+i*sin(\bruch{\pi}{3})[/mm]
>
> [mm]x=2*cos(\bruch{\pi}{3}=1[/mm]
> [mm]y=2*i*sin(\bruch{\pi}{3}=i*1.732050808[/mm]
[mm] $y=2*sin(\bruch{\pi}{3}=1.732050808$
[/mm]
x+iy=1+i*1.73205808
> x+iy=1+1.73205808
>
> So richtig?
> y ist eine irrationale Zahl laut meinem Taschenrechner.
> Ich habe mal geschaut und es scheint als wäre
> [mm]\wurzel{3}*i=i*y[/mm]
> Nur wie komme ich auf sowas ohne Taschenrechner?
Die einzigen sin und cos Werte, die man leicht mit Phythagoras ausrechnen kann sind die von 30°,45°,60° also [mm] \bruch{\pi}{6}, \bruch{\pi}{4} ;\bruch{\pi}{3}
[/mm]
(gleichseitiges Dreick mit Höhe, und gleichschenklig rechtw. Dreieck)
Daher weiss ein grosser Teil der "mathematisch gebildeten ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") " Menschheit die sin und cos Werte dieser Winkel (schließ dich ihnen an!)
sin(30°)=cos(60°)=1/2; [mm] sin(45°)=cos(45°)=1/2*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] sin(60)=cos(30°)=1/2*\wurzel{3}
[/mm]
Deshalb kommen die Winkel auch in Aufgaben recht oft vor!
Gruss leduart
> Grüße und danke im Voraus
Danke bitte erst nach Erfolgsmeldung!
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