Polstellen, Nullstellen etc. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
gegeben ist die gebr. rationale Funktion
[mm] \bruch{x²}{3+2x}
[/mm]
wir sollen nun bei dieser die Nullstellen ausrechnen, um weitere Untersuchungen (Limes, Polstelle) vornehmen zu können.
Habe nun versucht die Funktion durch die Polynomdivision zu vereinfachen
x²+0x+0 /(2x²+3)=0,5
-(x² +1,5)
so erhalte ich einen Rest von -1,5
wenn ich das richtig verstanden habe lautet die Funktion nun:
[mm] \bruch{-1,5}{2x²+3}
[/mm]
Ich wüsste gern ob meine Überlegungen/Rechnungen grundlegend richtig sind und wie ich weitermachen soll, weil ich den Nullstellen dadurch auch nicht nähergekommen bin.
Lg
|
|
| |
|
Bei einer gebrochen-rationalen Funktion wird doch , wenn man die Nullstelle berechnen möchte , die Zählerfunktion gleich Null gesetzt.
Man hat 2 Bedingungen :
z(x) = 0
n(x) [mm] \not= [/mm] 0
Warum "vereinfachst" du die Funktion , man soll doch nur die Nullstellen etc bestimmen.
f(x) = [mm] \bruch{x}{3+2x}
[/mm]
Die Nullstelle kann man hier durch normales Sehen erkennen xd.
Und für die Polstelle gilt ja :
N(x) = 0
Z(x) [mm] \not= [/mm] 0
|
|
|
| |
|
Also ist x=0 vom Zähler die einzige Nullstelle,weil der Nenner hat ja keine?
aber kann ich meine Vereinfachung nicht für das verhalten von x gegen +/- unendlich nutzen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also ist x=0 vom Zähler die einzige Nullstelle
ja.
> ,weil der
> Nenner hat ja keine?
was um alles in der Welt ist das für eine Argumentation? Ein Bruch wird genau dann Null, wenn sein Zähler Null wird. Sonst nicht.
> aber kann ich meine Vereinfachung nicht für das verhalten
> von x gegen +/- unendlich nutzen?
Deine Vereinfachung ist falsch, wie ich dir geschrieben habe. Die richtige könntest du verwenden, es ist aber viel zu umständlich. Bilde den Limes auf folgende Art und Weise:
[mm]\limes_{|x|\rightarrow\infty}\bruch{x}{2x+3}=\limes_{|x|\rightarrow\infty}\bruch{x}{x\left(2+\bruch{3}{x}\right)}=? [/mm]
und du bist mit dem nächsten Schritt fertig.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
vielen Dank für die Hilfe!
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Habe nun versucht die Funktion durch die Polynomdivision zu
> vereinfachen
>
> x²+0x+0 /(2x²+3)=0,5
> -(x² +1,5)
>
> so erhalte ich einen Rest von -1,5
>
> wenn ich das richtig verstanden habe lautet die Funktion
> nun:
>
> [mm]\bruch{-1,5}{2x²+3}[/mm]
>
> Ich wüsste gern ob meine Überlegungen/Rechnungen
> grundlegend richtig sind und wie ich weitermachen soll,
> weil ich den Nullstellen dadurch auch nicht nähergekommen
> bin.
Du hättest dir mit ein ganz klein wenig eigenem Nachdenken klar machen können, dass da etwas faul ist: es kann nicht aus der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x}{2x+3}
[/mm]
plötzlich die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{-1.5}{2x+3}
[/mm]
und dann behauptet werden, diese beiden seien gleich. Man sieht es mit einem Blick, dass sie es nicht sind und man sollte an solchen Dingen nicht sinnlos festhalten nach dem Motto: 'vielleicht stimmt es ja doch'. Das ist eine sehr schlechte Angewohnheit, die ich bei meinen Schülern auch zunehmend feststelle. Nicht das mich das stören würde, aber für Prüfungen und Klausuren ist diese Angwohnheit absolut fatal, da man wertvolle Zeit mit absolutem Nonsens vertut.
Man kann diese Funktion durch Polynomdivision natürlich in eine ganzrationale und eine echt gebrochen-rationale Funktion zerlegen. Das Ergebnis lautet dann
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}-\bruch{1.5}{2x+3}
[/mm]
was man für die Ermittlung der waagerechten Asymptote heranziehen könnte, aber es muss bei einer waagerechten Asymptote nicht sein. Merke dir diese Vorgehensweise (mit der Polynomdivision) für schräge Asymptoten. Sie treten auf, wenn der Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad.
Alles andere wurde ja in der anderen Antwort schon abgehandelt.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
