Polstellen etc. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 07.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier wieder eine Aufgabe, bei der ich Hilfe brauche:
Betrachte die Funktion [mm] f(z):=\bruch{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}} [/mm] mit [mm] a:=(1+i)\wurzel{\bruch{\pi}{2}}.
[/mm]
Zeige, dass [mm] z_n:=\bruch{1}{2}(2n-1)a [/mm] mit [mm] n\in\IZ [/mm] die einzigen Polstellen von f sind, und dass alle Pole einfach sind.
Soweit erstmal. Ich dachte, das kann ja nicht allzu schwierig sein, aber ich hab's noch nicht geschafft.
Dazu direkt mal eine Frage: Ist Polstelle äquivalent zu Nullstelle des Zählers? (also die Stellen, an denen ein Bruch nicht definiert ist?) Jednefalls müsste dann ja sein: [mm] e^{-z^2}=0
[/mm]
Ich habe da jetzt erstmal z=a+ib geschrieben und das dann mit [mm] e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} [/mm] umgeformt bis hierhin:
[mm] e^{-a^2+b^2}e^{-2abi}=0 [/mm] (ich hoffe, ich habe die Potenzgesetze richtig angewandt - irgendwie kam mir das eben war komische vor...)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] e^{-2abi}=0 \gdw \cos{(-2ab)}+i\sin{(-2ab)}=0
[/mm]
Ist das soweit richtig oder muss ich hier ganz anders vorgehen? Vielleicht muss man die Polstellen ja gar nicht ausrechnen um zu zeigen, dass es die einzigen sind? Aber falls das hier richtig ist, wie gehts dann weiter?
Weiter geht die Aufgabenstellung mit:
Zeige weiter, dass [mm] f(z)-f(z+a)=e^{-z^2}.
[/mm]
Das habe ich auch mal gerade probiert, allerdings stört mich irgendwie der Nenner.
Vielleicht kann mir jemand, der das schafft zu zeigen, folgende Fragen beantworten:
Wie fange ich am besten an? Schreibe ich f(z)-f(z+a)=... und rechne drauf los oder ist es vielleicht einfacher, wenn ich schreibe: [mm] f(z)-e^{-z^2} [/mm] und das soll jetzt =f(z+a) sein (wahrscheinlich ist die Rechnung die gleiche, aber vielleicht sieht man es auf einer der beiden Weisen einfacher...). Und setze ich das a explizit ein oder hilft das nichts? Ich hatte bisher an einer Stelle [mm] a^2 [/mm] stehen, das wäre dann wohl [mm] \pi [/mm] i, wenn ich mich nicht verrechnet habe, und das kam im Exponenten von e vor, das ließe sich ja dann vielleicht vereinfachen...
Und weiter geht's mit:
Es seinen dann [mm] r>\wurzel{\bruch{\pi}{2}} [/mm] und [mm] \Omega(r) [/mm] das Rechteck mit den Ecken r, [mm] r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, [/mm] -r. Zeige, dass [mm] z_1 [/mm] der einzige Pol in [mm] \Omega(r) [/mm] ist, und dass das Residuum von f in [mm] z_1 [/mm] durch [mm] -\bruch{i}{2\wurzel{\pi}} [/mm] gegeben ist.
Wie zeige ich denn, dass [mm] z_1 [/mm] der einzige Pol in [mm] \Omega(r) [/mm] ist? Also, was muss denn dafür gelten? Vielleicht irgendwas mit dem Betrag oder so?
Und wie berechne ich hier das Residuum?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Di 07.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Betrachte die Funktion [mm]f(z):=\bruch{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}}[/mm]
> mit [mm]a:=(1+i)\wurzel{\bruch{\pi}{2}}.[/mm]
> Zeige, dass [mm]z_n:=\bruch{1}{2}(2n-1)a[/mm] mit [mm]n\in\IZ[/mm] die
> einzigen Polstellen von f sind, und dass alle Pole einfach
> sind.
> Soweit erstmal. Ich dachte, das kann ja nicht allzu
> schwierig sein, aber ich hab's noch nicht geschafft.
> Dazu direkt mal eine Frage: Ist Polstelle äquivalent zu
> Nullstelle des Zählers? (also die Stellen, an denen ein
> Bruch nicht definiert ist?) Jednefalls müsste dann ja sein:
> [mm]e^{-z^2}=0[/mm]
> Ich habe da jetzt erstmal z=a+ib geschrieben und das dann
> mit [mm]e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}[/mm] umgeformt bis hierhin:
>
> [mm]e^{-a^2+b^2}e^{-2abi}=0[/mm] (ich hoffe, ich habe die
> Potenzgesetze richtig angewandt - irgendwie kam mir das
> eben war komische vor...)
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]e^{-2abi}=0 \gdw \cos{(-2ab)}+i\sin{(-2ab)}=0[/mm]
Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, nicht des Zählers. Es gilt:
[mm] $1+e^{-2az} [/mm] =0$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] -2az = [mm] \pi [/mm] i - 2n [mm] \pi [/mm] i$, $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] -2az = (-2n+1) [mm] \pi [/mm] i$, $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] -az = [mm] \frac{-2n+1}{2} \pi [/mm] i$, $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
[beachte im Folgenden: [mm] $\frac{1}{-a} [/mm] = (-a) [mm] \cdot \frac{1}{\pi i}$]
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] z [mm] =\frac{2n-1}{2} [/mm] a$, $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
> Ist das soweit richtig oder muss ich hier ganz anders
> vorgehen? Vielleicht muss man die Polstellen ja gar nicht
> ausrechnen um zu zeigen, dass es die einzigen sind? Aber
> falls das hier richtig ist, wie gehts dann weiter?
>
>
> Weiter geht die Aufgabenstellung mit:
> Zeige weiter, dass [mm]f(z)-f(z+a)=e^{-z^2}.[/mm]
>
> Das habe ich auch mal gerade probiert, allerdings stört
> mich irgendwie der Nenner.
> Vielleicht kann mir jemand, der das schafft zu zeigen,
> folgende Fragen beantworten:
> Wie fange ich am besten an? Schreibe ich f(z)-f(z+a)=...
> und rechne drauf los
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beachte dabei [mm] $e^{-a^2}=-1$ [/mm] wegen [mm] $a^2=\pi [/mm] i$.
$f(z) - f(z+a)$
$= [mm] \frac{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}} [/mm] - [mm] \frac{e^{-(z+a)^2}}{1+e^{-2a^2-2az}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-z^2} + e^{-2a^2-2az-z^2} - e^{-z^2-2az-a^2} - e^{-z^2-4az-a^2}}{1+e^{-2az} + e^{-2a^2-2az} + e^{-2a^2-4az}}$
[/mm]
$= [mm] e^{-z^2} \frac{1 + e^{-2a^2-2az} - e^{-2az-a^2} - e^{-4az-a^2}}{1+e^{-2az}+e^{-2a^2-2az} + e^{-2a^2-4az}}$
[/mm]
$= [mm] e^{-z^2} \cdot \frac{1 + e^{-2az} +e^{-2az-2a^2} + e^{-4az-2a^2}}{1 + e^{-2az}+e^{-2a^2-2az} +e^{-2a^2-4az}}$
[/mm]
[mm] $=e^{-z^2}$.
[/mm]
Beachte bitte (ich wiederhole es, bevor du dies nachfragst  ), dass ich von der drittletzten in die zweitletzten Zeile ein paar Mal [mm] $e^{-a^2}=1$ [/mm] ausgenutzt habe.
> oder ist es vielleicht einfacher, wenn
> ich schreibe: [mm]f(z)-e^{-z^2}[/mm] und das soll jetzt =f(z+a) sein
> (wahrscheinlich ist die Rechnung die gleiche, aber
> vielleicht sieht man es auf einer der beiden Weisen
> einfacher...). Und setze ich das a explizit ein oder hilft
> das nichts? Ich hatte bisher an einer Stelle [mm]a^2[/mm] stehen,
> das wäre dann wohl [mm]\pi[/mm] i, wenn ich mich nicht verrechnet
> habe, und das kam im Exponenten von e vor, das ließe sich
> ja dann vielleicht vereinfachen...
>
>
> Und weiter geht's mit:
> Es seinen dann [mm]r>\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] und [mm]\Omega(r)[/mm] das
> Rechteck mit den Ecken r, [mm]r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}},[/mm]
> -r. Zeige, dass [mm]z_1[/mm] der einzige Pol in [mm]\Omega(r)[/mm] ist, und
> dass das Residuum von f in [mm]z_1[/mm] durch
> [mm]-\bruch{i}{2\wurzel{\pi}}[/mm] gegeben ist.
>
> Wie zeige ich denn, dass [mm]z_1[/mm] der einzige Pol in [mm]\Omega(r)[/mm]
> ist? Also, was muss denn dafür gelten? Vielleicht irgendwas
> mit dem Betrag oder so?
Zeige, dass die Imaginärteile aller anderen Pole betraglich größer als [mm] $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ [/mm] sind...
> Und wie berechne ich hier das Residuum?
Mit Hilfe des Residuensatzes.. versuche es zunächst bitte mal selber... 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 07.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Leider muss ich gleich weg, aber nachher werde ich mich weiter hier dran setzen. Nur kurz schon mal zwei klitzekleine Fragen:
> Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, nicht des
> Zählers. Es gilt:
>
> [mm]1+e^{-2az} =0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \quad -2az = \pi i - 2n \pi i[/mm], [mm]n \in \IZ[/mm]
Wie kommst du auf diese erste Umformung hier? Ich vermute, dass es damit zu tun hat, dass [mm] e^{i\pi}=-1, [/mm] aber würde dann nicht auf der rechten Seite [mm] \pi [/mm] i reichen ohne den Teil dahinter? (Ich hoffe, du verstehst, was ich meine)
> [beachte im Folgenden: [mm]\frac{1}{-a} = (-a) \cdot \frac{1}{\pi i}[/mm]]
Wieso gilt das denn? Konnte ich gerade irgendwie noch nicht nachvollziehen...
> Beachte dabei [mm]e^{-a^2}=-1[/mm] wegen [mm]a^2=\pi i[/mm].
>
> [mm]f(z) - f(z+a)[/mm]
>
> [mm]= \frac{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}} - \frac{e^{-(z+a)^2}}{1+e^{-2a^2-2az}}[/mm]
>
> [mm]= \frac{e^{-z^2} + e^{-2a^2-2az-z^2} - e^{-z^2-2az-a^2} - e^{-z^2-4az-a^2}}{1+e^{-2az} + e^{-2a^2-2az} + e^{-2a^2-4az}}[/mm]
>
> [mm]= e^{-z^2} \frac{1 + e^{-2a^2-2az} - e^{-2az-a^2} - e^{-4az-a^2}}{1+e^{-2az}+e^{-2a^2-2az} + e^{-2a^2-4az}}[/mm]
>
> [mm]= e^{-z^2} \cdot \frac{1 + e^{-2az} +e^{-2az-2a^2} + e^{-4az-2a^2}}{1 + e^{-2az}+e^{-2a^2-2az} +e^{-2a^2-4az}}[/mm]
>
> [mm]=e^{-z^2}[/mm].
>
> Beachte bitte (ich wiederhole es, bevor du dies nachfragst
> ), dass ich von der drittletzten in die zweitletzten
> Zeile ein paar Mal [mm]e^{-a^2}=1[/mm] ausgenutzt habe.
Gut.
> > Und weiter geht's mit:
> > Es seinen dann [mm]r>\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] und [mm]\Omega(r)[/mm]
> das
> > Rechteck mit den Ecken r, [mm]r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}},[/mm]
> > -r. Zeige, dass [mm]z_1[/mm] der einzige Pol in [mm]\Omega(r)[/mm] ist, und
> > dass das Residuum von f in [mm]z_1[/mm] durch
> > [mm]-\bruch{i}{2\wurzel{\pi}}[/mm] gegeben ist.
> >
> > Wie zeige ich denn, dass [mm]z_1[/mm] der einzige Pol in [mm]\Omega(r)[/mm]
> > ist? Also, was muss denn dafür gelten? Vielleicht irgendwas
> > mit dem Betrag oder so?
>
> Zeige, dass die Imaginärteile aller anderen Pole betraglich
> größer als [mm]\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm] sind...
>
> > Und wie berechne ich hier das Residuum?
>
> Mit Hilfe des Residuensatzes.. versuche es zunächst bitte
> mal selber...
Werde ich machen. Aber erst versuche ich das andere nachher nochmal nachzuvollziehen.
Danke schon mal für die Hilfe - vielleicht verstehe ich das ja diesmal bis Freitag komplett.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 07.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > [mm]1+e^{-2az} =0[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \quad -2az = \pi i - 2n \pi i[/mm], [mm]n \in \IZ[/mm]
>
> Wie kommst du auf diese erste Umformung hier? Ich vermute,
> dass es damit zu tun hat, dass [mm]e^{i\pi}=-1,[/mm] aber würde dann
> nicht auf der rechten Seite [mm]\pi[/mm] i reichen ohne den Teil
> dahinter? (Ich hoffe, du verstehst, was ich meine)
Genau, es ist [mm] $e^{\pi i}=-1$. [/mm] Aber die Exponentialfunktion ist periodisch mit Periode $2 [mm] \pi [/mm] i$, daher gibt es noch ganz viele andere Nullstellen des Nenners, immer um [mm] $2\pi [/mm] i$ versetzt. Und du sollst ja nicht eine, sondern alle Polstellen herausfinden!
> > [beachte im Folgenden: [mm]\frac{1}{-a} = (-a) \cdot \frac{1}{\pi i}[/mm]]
>
> Wieso gilt das denn? Konnte ich gerade irgendwie noch nicht
> nachvollziehen...
Das hast du doch selber ausgerechnet : [mm] $a^2=\pi [/mm] i$, und ich habe das nur umgeformt...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 07.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Okay, die ersten Fragen haben sich mittlerweile geklärt. Danke für die Tipps - war ja dann eigentlich nicht schwierig (ich habe sogar das Gefühl, dass die Aufgabe ziemlich einfach ist, oder? Also für gute Mathematiker wahrscheinlich schon wieder langweilig und nur dumme Rumrechnerei!?
Naja, ich hab' da jetzt noch ne Frage zu dem letzten Teil mit dem Residuensatz:
> > Und wie berechne ich hier das Residuum?
>
> Mit Hilfe des Residuensatzes.. versuche es zunächst bitte
> mal selber...
Also, ich habe das mal mit der Bemerkung, die bei uns kurz über dem Residuensatz stand, versucht:
[mm] Res_af:=\bruch{1}{2\pi i}\integral{f(z)\;dz}
[/mm]
oder muss ich da doch den richtigen Residuensatz für nehmen?
Also, so wie ich's versucht habe:
Alle Pole sind ja 1. Ordnung, also kann ich das Residuum so berechnen:
[mm] Res_{z_1}f=\lim_{z\to z_1}(z-z_1)f(z)
[/mm]
Da [mm] z_1=\bruch{1}{2}a [/mm] ist das dann:
[mm] =\lim_{z\to z_1}(z-\bruch{1}{2}(2n-1)(1+i)\wurzel{\bruch{\pi}{2}})\bruch{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}}
[/mm]
Aber irgendwie bin ich zu blöd, das weiter zu berechnen... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nach dem "richtigen" Residuensatz fehlt mir dann wieder das [mm] \gamma, [/mm] oder ist das hier das Rechteck? Ich glaub', damit könnte ich es vielleicht nochmal versuchen.
Obwohl - dann weiß ich da nicht, wo der Unterschied zu dieser Aufgabe ist...
Viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Vielen Dank für die Hilfe - ich hoffe, ich habe dich nicht gedrängt?
Bist du eigentlich in letzter Zeit fast immer "nicht öffentlich" online? Ich sehe dich so selten...
Ich glaub', ich habe fast alles verstanden (werde die Aufgabe gleich schon mal komplett aufschreiben, evtl. ergeben sich dann noch Fragen... Aber eine Frage habe ich jetzt noch:
> Nun gilt:
>
> [mm]e^{-\frac{1}{4}a^2} = e^{-\frac{1}{4}\pi i} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}[/mm]
Es gilt doch [mm] e^{-\pi i}=-1, [/mm] also [mm] e^{-\frac{1}{4}\pi i} [/mm] = [mm] (e^{-\pi i})^{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] und hier komme ich jetzt irgendwie nicht weiter. Ich hab's dann mal versucht mit: [mm] ...=\wurzel{\wurzel{-1}} [/mm] = [mm] \wurzel{\pm i} [/mm] - stimmt das noch? Und wie komme ich dann auf [mm] \frac{1-i}{\sqrt{2}}?
[/mm]
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane!
[mm](-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm] ist äquivalent zur Lösung des Polynoms [mm]z^{4}+1=0[/mm]. Dann einfach die komplexe Wurzel ziehen, weisst du, wie das geht? Ansonsten nochmal fragen oder dazu gibt es auch Tutorials im Netz. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dort vier Lösungen, die von Stefan ist eine davon. Alle vier sind komplexwertig.
Liebe Grüße,
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Mathemagier!
Vielen Dank für die Antwort. Leider weiß ich nicht so wirklich, wie man bei den komplexen Zahlen die Wurzeln zieht, sonst wäre ich hier wohl auch schon auf das Ergebnis gekommen. Hat das was mit diesen "komischen Kreisen" zu tun, wo man dann immer 4 Punkte auf dem Kreis einzeichnet, und das dann die Nullstellen oder so sind?
Meinst du, du kannst mir das für meinen Fall hier mal erklären oder führt das so weit, dass ich mir lieber doch ein Tutorial suche?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Du suchst $z \ = \ [mm] \wurzel{\pm i}$ [/mm] ??
Mit $z \ := \ a+i*b$ kommst Du schnell zum Ziel:
$a+i*b \ = \ [mm] \wurzel{\pm i}$ [/mm] $| \ ²$
[mm] $(a+i*b)^2 [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] i$
[mm] $a^2+i*2ab [/mm] - [mm] b^2 [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] i$
[mm] $\red{a^2-b^2} [/mm] + [mm] i*\blue{2ab} [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] + [mm] i*(\blue{\pm 1})$
[/mm]
Koeffizientenvergleich [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[1] [mm] $\red{a^2-b^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
[2] [mm] $\blue{2ab} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\pm 1}$
[/mm]
Damit solltest Du dann auf die 4 Lösungen gelangen:
[mm] $a_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] b_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}}$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-1+i}{\wurzel{2}}$
[/mm]
[mm] $z_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-i}{\wurzel{2}}$
[/mm]
[mm] $z_4 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-1-i}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
[mm]\bruch{1-i}{1+i} \ = \ \bruch{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)} \ = \ \bruch{1^2-2*i +i^2}{1^2-i^2} \ = \ \bruch{1-2i-1}{1+1} \ = \ \bruch{-2i}{2} \ = -i[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Do 09.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
[mm] $e^{-\frac{\pi i}{4}}$ [/mm] ist zwar eine achte Einheitswurzel (oder eine vierte Wurzel von $-1$), aber halt nur eine von acht. Und es ist eigentlich auch völlig unterheblich, ob es eine ist (auch wenn ich es mir damit geometrisch überlegt habe).
Man kann es nämlich auch ganz einfach ausrechnen:
[mm] $e^{-\frac{\pi i}{4}} [/mm] = [mm] \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) [/mm] + i [mm] \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) =\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] - i [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Die Frage, welche der achten Einheitswurzeln (oder welche der vierten Wurzel von $-1$) man hier nimmt, stellt sich also nicht, da [mm] $e^{-\frac{\pi i}{4}}$ [/mm] eine spezielle davon ist, die man (wie oben) explizit in der Form $a+ib$ darstellen kann.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Also, ich habe hier gerade in der Vorlesung ein Beispiel gefunden, wo wir auch [mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] berechnet haben, bzw. der Prof hat einfach angeschrieben, was das ist. Und da hat er als Ergebnis raus: [mm] a=e^{i\bruch{\pi}{4}}, [/mm] ia, -a, -ia (also das sollen die vier Lösungen sein). Vielleicht könnt ihr mir noch kurz erklären, wie man jetzt darauf kommt?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
> Also, ich habe hier gerade in der Vorlesung ein Beispiel
> gefunden, wo wir auch [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm] berechnet haben, bzw.
> der Prof hat einfach angeschrieben, was das ist. Und da hat
> er als Ergebnis raus: [mm]a=e^{i\bruch{\pi}{4}},[/mm] ia, -a, -ia
In meiner Formelsammlung steht folgendes:
[m]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{{a + bi}} = \sqrt[n]{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + 2k\pi }}
{n} + i*\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + 2k\pi }}
{n}} \right)[/m]
Also gilt: [m]\sqrt[4]{{ - 1}} = \sqrt {\sqrt { - 1} } = \sqrt i[/m]. Jetzt setzen wir ein:
[m]\begin{gathered}
\sqrt[2]{{\sqrt {1^2 } }}\left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + 2k\pi }}
{n} + i*\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{b}
{a}} \right) + 2k\pi }}
{n}} \right) \hfill \\
= \sqrt 1 \left( {\cos \frac{{\arctan \left( {\frac{1}
{0}} \right) + 2k\pi }}
{2} + i*\sin \frac{{\arctan \left( {\frac{1}
{0}} \right) + 2k\pi }}
{2}} \right) \hfill \\
= \left( {\cos \left( {\frac{\pi }
{4}} \right) + i*\sin \left( {\frac{\pi }
{4}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}
{2} + \frac{{\sqrt 2 }}
{2}i \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Der Tangens ist für [mm] $\tfrac{\pi}{2}$ [/mm] undefiniert. Deshalb ist [mm] $\arctan\left(\tfrac{1}{0}\right)=\tfrac{\pi}{2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Um alle $n$-ten Wurzeln [mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] zu berechnen, musst du eine dieser $n$-ten Wurzeln [mm] $\sqrt[n]{a}$ [/mm] berechnen und diese dann mit allen $n$-ten Einheitswurzeln multiplizieren.
Konkret bei dir:
Eine vierte Wurzel von $-1$ ist [mm] $e^{\frac{\pi i}{4}}$, [/mm] denn
[mm] $\left( e^{\frac{\pi i}{4}}\right)^4 [/mm] = [mm] e^{\pi i}=-1$,
[/mm]
und diesen Wert musst du jetzt mit den vier Einheitswurzeln $1,-1,i,-i$ multiplizieren um alle vierten Wurzeln von $-1$ zu erhalten.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane
Um sich vielleicht etwas verständlich zu machen, wie das zu Stande kommt:
Die Eulerformel lautet:
e^(i *x) = cos (x) + i * sin (x) = cos (x + [mm] 2k*\pi) [/mm] + i * sin (x + [mm] 2k*\pi) [/mm]
=e^(i [mm] *(x+2k\pi))
[/mm]
Da Cosinus und Sinus ja beide [mm] 2\pi [/mm] - periodisch sind!
Damit erhalten wir also:
[mm] \wurzel[4]{e^(i * x)}= [/mm] e^(i *x/4) = [mm] e^\bruch{i*(x + 2k*\pi)}{4}
[/mm]
Dies ergibt für k = 0,1,2,3 unterschiedliche Ergebnisse, als Beispiel vllt k = 1:
[mm] e^\bruch{i*(x + 2*1*\pi)}{4}=e^\bruch{i*x}{4}*e^{i*\pi}{2} [/mm] = [mm] e^\bruch{i*x}{4} [/mm] * [mm] \wurzel{e^(i*\pi)}= e^\bruch{i*x}{4} [/mm] *i
die anderen Werte ergeben sich entsprechend!
Für k = 4 haben wir im Exponenten genau [mm] 2\pi [/mm] addiert und wir beginnen mit den Lösungen wieder von vorne, erhalten also keine neuen. So lässt sich auch sehr schön begründen, dass die n - te Wurzel auch bis zu n verschiedene Werte bedeuten kann!
Gruß Tran
|
|
|
|
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Vielen Dank für die schnelle und schöne Antwort, das war ja doch gar nicht so schwer, und ich glaube fast, dass ich das schon mal gesehen habe. ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]"){kind=small}
