Polstellen finden < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Di 02.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | Polstellen finden:z.b. von [mm] z^3=-\bruch{1}{8}
[/mm]
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ich habe irgendwie keine ahnung wie man das so macht.
ist das ein unterschied ob z komplex ist oder nicht?
soll es jedenfalls sein
habe einen ansatz:
[mm] z_i=\wurzel[n]{Realteil}*e^{j\bruch{phi +\pi*i}{n}}
[/mm]
und phi ist irgendwie meistens einfach null.
also wende ich das mal auf oben an:
[mm] z_0=-\bruch{1}{8}*e^{j\bruch{0 +\pi*0}{3}=-\bruch{1}{8}}
[/mm]
[mm] z_1=-\bruch{1}{8}*e^{j\bruch{0 +\pi*1}{3}=-\bruch{1}{8}e^{j\bruch{\pi}{3}}}
[/mm]
wer könnte mir das erklären so dass ichs kapier?
dank euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Di 02.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo domerich,
Dein Ansatz ist nicht ganz richtig, aber auch nicht ganz verkehrt. Es gibt hier die Formel von Moivre, die Dir zeigt, dass hierbei die n-te Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl gezogen wird und der Winkel ge-n-telt wird.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 02.03.2010 | | Autor: | domerich |
dummerweise stimmen bei mir die vorzeichen nicht.
so habe ich gerechnet:
mit [mm] \bruch{z-k}{(z-\bruch{k}{8})(z^3+\bruch{1}{8})}
[/mm]
Polstellen.
die erste Z=1/2 mit k=4, is doppelt
dann mit moivre:
r=1/8
für k=1: [mm] \wurzel[3]{1/8}(cos(2\pi/3)+isin(2\pi/3)= -1/4+j\bruch{\wurzel{2}}{4})
[/mm]
für k=2: [mm] \wurzel[3]{1/8}(cos(4\pi/3)+isin(2\pi/3)= -1/4-j\bruch{\wurzel{2}}{4})
[/mm]
da stimmt was mit den vorzeichen net :(
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Hallo domerich,
> dummerweise stimmen bei mir die vorzeichen nicht.
>
> so habe ich gerechnet:
>
> mit [mm]\bruch{z-k}{(z-\bruch{k}{8})(z^3+\bruch{1}{8})}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Mir erschließt sich auch nach längerem Hinsehen nicht, wie du aus der Gleichung [mm] $z^3=-\frac{1}{8}$ [/mm] auf einen (diesen) Bruch kommst ...
Vllt. kannst du mal sagen, was du da machst ...
>
> Polstellen.
>
> die erste Z=1/2 mit k=4, is doppelt
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
>
> dann mit moivre:
>
> r=1/8
>
> für k=1: [mm]\wurzel[3]{1/8}(cos(2\pi/3)+isin(2\pi/3)= -1/4+j\bruch{\wurzel{2}}{4})[/mm]
>
> für k=2: [mm]\wurzel[3]{1/8}(cos(4\pi/3)+isin(2\pi/3)= -1/4-j\bruch{\wurzel{2}}{4})[/mm]
>
>
> da stimmt was mit den vorzeichen net :(
>
Zu lösen war [mm] $z^3=-\frac{1}{8}$
[/mm]
Also [mm] $\left|z^3\right|=|z|^3=\frac{1}{8}$, [/mm] also [mm] $|z|=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Und [mm] $\operatorname{arg}\left(z^3\right)=\pi$ [/mm] (mach ne Zeichnung!)
Also gibt's mit Moivre die 3 Lösungen
[mm] $z_k=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)\right]$ [/mm] ($k=0,1,2$)
Für $k=1$ ergibt sich die reelle Lösung [mm] $z_1=-\frac{1}{2}$, [/mm] für $k=0,2$ ergeben sich komplexe Lösungen. Rechne die mal aus ...
Gruß
schachuzipus
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