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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 14.05.2010 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Seien [mm] A\in\IR^{m\times\;n}, b\in\IR^m, B\in\IR^{k\times\n}, d\in\IR^k.
[/mm]
Zeigen Sie, dass genau eine der beiden Aussagen gilt:
1. Ax=b, [mm] Bx\le\;d [/mm] ist lösbar
2. [mm] \exists\;u\in\IR^m\;und\; v\in\IR^k\; [/mm] so dass [mm] v\ge0, u^TA+v^TB=0^T [/mm] und [mm] u^{T}b+v^{T}d<0 [/mm] |
Wer kann mir hier weiterhelfen? Was muss ich machen um zu zeigen, dass genau eine der beiden Aussagen stimmt: Muss ich zeigen [mm] A\Rightarrow\neg\;B [/mm] und [mm] \neg\;A \Rightarrow\;B?
[/mm]
Und wenn das so ist, wie mach ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 So 16.05.2010 | | Autor: | nikinho |
Hi, ich habe vorhin dieselbe Aufgabe bearbeitet.
In der Vorlesung haben wir ja den Satz von Gordan und das Farkas-Lemma bewiesen und dort haben wir das so gemacht, dass wir gezeigt haben:
Es kann nicht beides zugleich gelten (Gilt das eine => Das andere gilt nicht).
Und dann noch (Das eine gilt nicht => Es gilt das andere). Das hat uns in der Vorlesung gereicht und ich denke das kommt hin.
Der Trick auf den ich nachher gekommen bin ist, Ax=b umzuschreiben in Ax<= b und Ax>=b. Und dann betrachten:
Ax<=b, -Ax <= -b, Bx<=d.
Dafür habe ich mir eine Matrix C definiert als (A -A [mm] B)^T
[/mm]
und das Problem Cx <= [mm] (b,-b,d)^T [/mm] betrachtet, für das ich dann das Farkas Lemma benutzen konnte.
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