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| Aufgabe | 22. Es gilt grad(f*g) = grad f + grad g , falls f,g [mm] \in [/mm] R[X] , wobei R ein Integritätsring ist.
a) Zeigen Sie, dass die Gradformel falsch ist, falls R kein Integritätsring ist.
b) Zeigen Sie: Ist [mm] f\in\IZ[X] [/mm] , f = X² + aX + b irreduzibel, dann ist f auch irreduzibel als Polynom in [mm] \IQ[X]
[/mm]
c) Finden Sie ein irreduzibels Polynom f [mm] \in\IQ[X] [/mm] vom Grad 2, das als Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] reduzibel ist.
d) Finden Sie ein irreduzibels Polynom f [mm] \in\IQ[X] [/mm] vom Grad 2, das als Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] auch irreduzibel ist.
(Vergessen Sie nicht zu begründen, warum die Polynome jeweils irreduzibel sind!) |
So hi erstmal, bedanke mich schonmal für alle Hilfen.
Mit a) hab ich keine großen Problem, wollte einfach 2 Polynome in [mm] \IZ [/mm] mod 6 nehmen vom grad 1 und es kommt wieder grad 1 raus.
b) hier hab ich doch schon so meine Probleme.
Wenn ich die Def richtig verstanden habe gibt es keine Polynome welche verknüpft miteinander f ergeben sollen, außer Einheiten.(So das mit den Einheiten ist ja Klar , da 1* f = f und -1*-f= f)
So aber was sagt mir das über f aus.
Kann ich annehmen, dass f keine Nullstellen hat? und wie hilft mit das weiter, wenn ich zeigen will, dass es in [mm] \IQ[X] [/mm] auch irreduzibel ist?
oder stelle ich die Gleichung auf (x+c)*(x+d)=X²+aX+b
und da ich weiß, dass es c und d in [mm] \IZ [/mm] nicht gibt, kann ich daraus irgendwie Folgern, dass auch keine 2 Polynome gibt, sodass: (cX+d)*(eX+f) = X²+aX+b
mit [mm] c,d,e,f\in\IQ
[/mm]
Kam bei beiden Ansätzen irgendwie nicht weiter
( In [mm] \IQ[X] [/mm] sind doch alle Polynome vom 0.grad Einheiten oder ?)
c und d sollten glaub ich mit b kein Prob werden ^^
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Hallo
> b) Zeigen Sie: Ist [mm]f\in\IZ[X][/mm] , f = X² + aX + b
> irreduzibel, dann ist f auch irreduzibel als Polynom in
> [mm]\IQ[X][/mm]
> b) hier hab ich doch schon so meine Probleme.
Ich weiss nicht, ob du das verwenden darfst, darum die Frage auf "teilweise beantwortet", aber das Eisensteinkriterium könnte dir hier weiterhelfen. (Schaue es auf Wikipedia nach oder so).
Dazu musst du (durch die Irreduzibilität von f in [mm] \IZ\left[x\right]), [/mm] etwas über a und b aussagen können. Danach, kannst du dieses kriterium anwenden, um die Irreduzibilität in [mm] \IQ\left[x\right] [/mm] zu zeigen.
Grüsse, Amaro
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naja zum einem hatte wie das nie in der Vorlesung und zum anderem glaub ich auch nicht, dass es mir wirklich weiterhilft, da es soweit ich es verstanden habe nur eine Zusatzbedingung ist und keine Vorraussetzung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> 22. Es gilt grad(f*g) = grad f + grad g , falls f,g [mm]\in[/mm]
> R[X] , wobei R ein Integritätsring ist.
> a) Zeigen Sie, dass die Gradformel falsch ist, falls R
> kein Integritätsring ist.
> b) Zeigen Sie: Ist [mm]f\in\IZ[X][/mm] , f = X² + aX + b
> irreduzibel, dann ist f auch irreduzibel als Polynom in
> [mm]\IQ[X][/mm]
> c) Finden Sie ein irreduzibels Polynom f [mm]\in\IQ[X][/mm] vom
> Grad 2, das als Polynom in [mm]\IR[X][/mm] reduzibel ist.
> d) Finden Sie ein irreduzibels Polynom f [mm]\in\IQ[X][/mm] vom
> Grad 2, das als Polynom in [mm]\IR[X][/mm] auch irreduzibel ist.
>
> (Vergessen Sie nicht zu begründen, warum die Polynome
> jeweils irreduzibel sind!)
> So hi erstmal, bedanke mich schonmal für alle Hilfen.
> Mit a) hab ich keine großen Problem, wollte einfach 2
> Polynome in [mm]\IZ[/mm] mod 6 nehmen vom grad 1 und es kommt wieder
> grad 1 raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist eine Möglichkeit. Die Leitkoeffizienten müssen sich eben zur 0 Multiplizieren.
> b) hier hab ich doch schon so meine Probleme.
> Wenn ich die Def richtig verstanden habe gibt es keine
> Polynome welche verknüpft miteinander f ergeben sollen,
> außer Einheiten.(So das mit den Einheiten ist ja Klar , da
> 1* f = f und -1*-f= f)
> So aber was sagt mir das über f aus.
> Kann ich annehmen, dass f keine Nullstellen hat? und wie
> hilft mit das weiter, wenn ich zeigen will, dass es in
> [mm]\IQ[X][/mm] auch irreduzibel ist?
>
> oder stelle ich die Gleichung auf (x+c)*(x+d)=X²+aX+b
> und da ich weiß, dass es c und d in [mm]\IZ[/mm] nicht gibt, kann
> ich daraus irgendwie Folgern, dass auch keine 2 Polynome
> gibt, sodass: (cX+d)*(eX+f) = X²+aX+b
> mit [mm]c,d,e,f\in\IQ[/mm]
> Kam bei beiden Ansätzen irgendwie nicht weiter
>
> ( In [mm]\IQ[X][/mm] sind doch alle Polynome vom 0.grad Einheiten
> oder ?)
Die Aussage ist der Inhalt vom Lemma von Gauß. Beim Wikipediaartikel über den Inhalt findest du das Lemma weiter unten. Ein Korollar ist, dass ein Polynom genau dann eine echte Faktorisierung über dem Polynomring über dem Quotientenkörper eines Ringes R besitzt, wenn es eine echte Faktorisierung im Polynomring über R besitzt. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Inhalt_%28Polynom%29 Vllt. findest du ja einen schönen Beweis für diese Aussage allein.
>
> c und d sollten glaub ich mit b kein Prob werden ^^
Leider hilft die b) hierbei nicht unbedingt weiter. Aber wenn du dir Überlegst, dass Quadratwurzeln wie [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen, und i nicht in [mm] $\IR$, [/mm] vllt. findest du dann ja ein Polynom, was damit zu tun hat, dass in den größeren Ringen (bzw. genauer deren Polynomringe) Nullstellen besitzt, aber nicht im Polynomring über [mm] $\IQ$.
[/mm]
Gruß Micha 
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Hey danke für die Antwort, aber hab mit dem Inhalt so meine Probleme. Zum einem hatten wir das bisher leider auch noch garnicht in der Vorlesung und im Skript finde ich dazu leider auch nix .... ( hab heut mal rumgefragt, bin da auch nicht der einzige der keine Ahnung hat wie das geht xD)
c und d sind jetzt klar danke dafür.
Zum Inhalt nochmal,
wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Inhalt von X²+aX+b gleich 1(oder -1) oder? ich muss doch den ggT(1,a,b) in Z finden.
Zu den Korollaren:
einer ist ja: "Der Polynomring R[X] über einem faktoriellen Ring R ist faktoriell."
somit ist doch [mm] \IZ[X] [/mm] faktoriell. Also sind alle Elemente entweder Einheiten oder reduzierbar oder hab ich das was vertauscht?
Somit ist f eine Einheit, da ja gesagt wurde, dass f irreduzibel ist?
Falls das soweit richtig ist, komme ich damit auch weiter? Oder hab ich es falsch verstanden und was hilft mir nun der Inhalt dabei?
mfg Yuu
So hab mir das ganze nochmal durch den Kopf gehen lassen und kam zu einem Lösungsweg und würde mich freuen ob mir jemand sagen könnte ob der so richtig ist xD
Also:
inhalt(f) = 1 so gäbe es jetzt g und h im Quotientenköper mit g*h=f muss doch gelten:
inhalt(g)*inhalt(h)=inhalt(g*h)=inhalt(f)=1
also ist entweder inhalt von g und h = 1, daraus folgt doch aber g und h sind in [mm] \IZ. [/mm] somit ein Widerspruch.
Oder es muss gelten inhalt von g=1/v und von h=v
also lassen sich g und h schreiben als:
[mm] g=(\frac{1}{v}*c X+\frac{1}{v}*d) [/mm] und h=(v*eX+v*f) mit [mm] c,d,e,f\in\IZ
[/mm]
so wenn man die beiden jetzt multipliziert ergibt es das gleich wie wenn man (cX+d)*(eX+f) rechnet, da aber c,d,e,f [mm] \in\IZ [/mm] gilt [mm] (cX+d),(eX+f)\in\IZ[X]
[/mm]
so da dies aber auch nicht sein kann wegen der Vorraussetzung ist X²+aX+b auch nicht in [mm] \IQ[X] [/mm] reduzierbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 19.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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