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| Aufgabe | | Es sei p eine Primzahl. Beweisen Sie, dass das Polynom [mm] x^{2} [/mm] + 1 genau dann irreduzibel in ( [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] )[X] ist, wenn gilt p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4. |
Wisst ihr vielleicht wie das geht?!
Schonmal danke... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 28.03.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Es sei p eine Primzahl. Beweisen Sie, dass das Polynom
> [mm]x^{2}[/mm] + 1 genau dann irreduzibel in ( [mm]\IZ[/mm] / [mm]p\IZ[/mm] )[X] ist,
> wenn gilt p [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4.
> Wisst ihr vielleicht wie das geht?!
Ja! Das Polynom ist reduzibel genau dann, wenn es eine Nullstelle hat (weil vom Grad 2). Aber eine Nullstelle hhat es genau dann, wenn es ein Körperelement gibt, dessen Quadrat gleich -1 ist. Und jetzt mußt du deine Kenntnisse aus der Zahlentheorie ins Gefecht führen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:15 Mi 28.03.2007 | | Autor: | LittleStudi |
Ja, aber gibt es in solchen Körpern nicht immer irgendwelche Zahlen die zum quadrat -1 ergeben, denn z.B. im [mm] \IZ_{5} [/mm] ist z.B. 2 solch ein Element denn 2*2 = 4 und das ist in diesem Raum ja = -1 somit gibt es so eines immer ist damit die Behauptung oben falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 28.03.2007 | | Autor: | wauwau |
5 ist ja auch keine Primzahl [mm] \equiv [/mm] 3(4)!!
Bei p=7 gibts beispielsweise keine so eine Zahl....
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Soll ich das dann für 3 in [mm] /IZ_{4} [/mm] machen, d.h. alle möglichen Fälle durchspiele ... bei 0,1,2,3 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 28.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Soll ich das dann für 3 in [mm]/IZ_{4}[/mm] machen, d.h. alle
> möglichen Fälle durchspiele ... bei 0,1,2,3 ???
Es gibt da einen Satz, der sagt genau, in welchen Faellen $-1$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist. Wenn ihr den hattet, kommst du damit weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Do 29.03.2007 | | Autor: | wauwau |
eine Zahl a ist genau dann quadr. Rest mod p, p prim wenn
[mm] a^{\bruch{(p-1)}{2}} \equiv [/mm] 1 (mod p) ist (Eulersches kriterium)
daher, wenn p=4k+3 dann ist [mm] \bruch{(p-1)}{2}= [/mm] 2k+1 ungerade und daher (p-1)^(ungerade) [mm] \equiv [/mm] -1(mod p) und daher kein quadr. Rest von p
im Fall p = 4k+1 ist das ganze gerade und daher schon ein quadr. Rest
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 29.03.2007 | | Autor: | wauwau |
eine Zahl a ist genau dann quadr. Rest mod p, p prim wenn
[mm] a^{\bruch{(p-1)}{2}} \equiv [/mm] 1 (mod p) ist (Eulersches kriterium)
daher, wenn p=4k+3 dann ist [mm] \bruch{(p-1)}{2}= [/mm] 2k+1 ungerade und daher (p-1)^(ungerade) [mm] \equiv [/mm] -1(mod p) und daher kein quadr. Rest von p
im Fall p = 4k+1 ist [mm] \bruch{(p-1)}{2}= [/mm] 2k ist das ganze gerade und daher schon ein quadr. Rest
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