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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:48 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Dschingis |
ich habe ein polynom mit der variablen pik und dem unbestimmten koeffizienten stern
R(pik)= [mm] Pik^{10}+stern *pik^{9}+stern* pik^{8}+ \ldots [/mm] + stern* [mm] pik^{2}+ [/mm] stern *pik + 1
klaus und peter ersetzen abwechseln einen stern durch eine reelle zahl, bis kein stern mehr übrig ist.
wenn das erhaltene polynom keine rellen nullstellen hat, gewinnt klaus, wenn es aber eine reelle nullstelle hat, gewinnt peter.
wie kann peter immer gewinnen.
mein ansatz bisher:
ich mahe eine fallunterscheidung, einmal fängt klaus an und einmal peter.
dann müßte ich irgendwie den zwischenwertsatz anwenden können. aber da hakts......
hoffe mir kann jemand helfen.
schonmal danke
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mi 05.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Dschingis Khan
Ich habe eine Lösung, wenn Peter anfangen kann. Dann hat er den letzten Zug denn es müssen 9 Zahlen gewählt werden.
Mit Pol(x) bezeichne ich das Polynom.
Konzentrieren wir uns auf den letzten Zug. Peter muss also noch [mm](\ast) x^i[/mm] bestimmen. Ich betrachte die Funktion [mm]f(x)=Pol(x)-(\ast) x^i[/mm].
Diese Funktion ist dann schon definiert und Peter kann f(1) ausrechnen. Es sei zum Beispiel f(1)=a.
Jetzt will Peter eine schöne Nullstelle bei x=1 hinkriegen. Ja da wählt er seine letzte Zahl gleich -a.
Es gilt [mm]Pol(x)=f(x)-a x^i[/mm] und daher [mm]Pol(1)=f(1)-a=a-a=0[/mm].
Wenn Klaus anfangen kann, weiss ich nicht wie Peter gewinnen kann. Auf alle Fälle dürfte es dann nicht so einfach sein.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 06.01.2005 | | Autor: | moudi |
Ich habs mir noch einmal überlegt. Was passiert, wenn
Klaus anfangen kann (Klaus hat dann den letzten Zug).
Zuerst ein paar Generalüberlegungen. Das entstehende Polynom ist vom Grad 10, wobei der Koeffizient von [mm]x^{10}[/mm] nicht beeinflusst werden kann. Ausserdem ist der konstante Term gleich 1 was Pol(0)=1 bedeutet.
Darum gilt in jedem Fall [mm]\lim_{x\to\pm\infty}Pol(x)=+\infty[/mm].
Ich sage Klaus/Peter spielt eine gerade/ungerade Potenz, wenn er den Koeffizient einer geraden rsp. ungeraden Potenz bestimmt.
i) Kann Klaus im letzten Zug eine gerade Potenz spielen, dann
gewinnt er. Weil eine gerade Potenz [mm]x^i[/mm] eine für
[mm]x\not=0[/mm] positive Funktion ist, kann er wenn er den
Koeffizienten genug gross wählt, (die Details müsste man
sich noch überlegen) das resultierende Polynom zu einer positiven
Funktion machen (ohne Nullstellen).
ii) Wenn i) stimmt, dann weiss dies auch Peter und er muss verhindern,
dass Klaus im letzten Zug eine gerade Potenz spielt. Daher wird
Klaus mit einer ungeraden Pozenz anfangen und Peter muss mit
einer geraden Potenz kontern, damit am Schluss keine gerade für
Klaus übrig bleibt etc.
Kann hingegen Peter in seinem letzt Zug eine gerade Potenz
spielen, so ist es für ihn einfach, dass nach seinem letzten Zug
die bisher definierte Funktion negative Funktionswerte für x=1
und x=-1 aufweisst (Peter kann ja vier mal ziehen und so alle
geraden Potenzen aufbrauchen). Klaus kann nun mit der letzten
ungeraden Potenz nicht mehr kontern, weil in jedem Fall
für x=1 oder x=-1 ein negativer Funktionswert übrig bleibt. Und
es wegen dem Zwischenwertsatz deshalb eine Nullstelle (es sind
sogar mindestens 2) geben muss.
iii) Das weiss natürlich auch Klaus, und er wird die letzte noch
bleibende gerade Potenz spielen wollen. Das Spiel verläuft
bis zum 7. Zug so:
[mm]\begin{array}{c|ccccccc}
K & u & & u & & u & & g \\\hline
P & & g & & g & & g & \end{array}[/mm]
Klaus wird nach seinem letzten Zug dem Peter eine Funktion
hinterlassen, die keine Nullstelle hat.
Es bleiben also noch zwei ungerade Potenzen zu spielen. Wie
hier Peter gewinnen kann, ist mir nicht klar.
mfG Moudi
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