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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Aleksa |
| Aufgabe | Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
Beweisen Sie ausführlich, dass:
g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)
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hallo Leute,
ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!
Meine Frage wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze , und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??
Danke
Aleksa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
> Beweisen Sie ausführlich, dass:
> g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)
>
>
> hallo Leute,
>
> ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!
>
> Meine Frage wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze , und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??
Yep, genau das heisst es.
Ein Polynom n.ten Grades ist ja definiert als [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}x^{i} [/mm] mit [mm] a_{n}\ne0
[/mm]
Und jetzt lege mal los mit [mm] g\circ{h}=...
[/mm]
> Danke
>
> Aleksa
Bitte 
Marius
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> Es sei f=g⋅h∈k[t] ein Polynom und V→V∈{End(V)}.
> Beweisen Sie ausführlich, dass:
> g(φ)∘{h(φ)}=h(φ)∘{g(φ)}=f(φ)
>
>
> hallo Leute,
>
> ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zu Recht!
>
> Meine Frage wäre nun, ob ich hier einfach jeweils ein Polynome für g und h einsetze
Hallo,
es kommt drauf an, was Du unter "einfach einsetze" verstehst...
Hast Du eigentlich die Aufgabe richtig verstanden?
Ich bin mir nicht sicher...
Ich nehme ja ganz stark an, daß oben
[mm] \varphi:V\to [/mm] V stehen soll.
[mm] \varphi [/mm] ist eine lineare Abbildung.
Hast Du das berücksichtigt?
Wenn Du prüfen willst, ob [mm] g(φ)∘{h(φ)}=f(\varphi) [/mm] ist zu prüfen, ob für alle [mm] v\in [/mm] V gilt
[mm] (g(φ)∘{h(φ)})(v)=(f(\varphi))(v) [/mm] (Gleichheit v. Funktionen.)
Für g(x) und h(x) kannst Du natürlich die Polynome so schreiben, wie Marius sagt (allerdings beginnt die Summation bei i=0).
> und das dann ganz einfach durch multiplikation ausrechne??
f=gh bekommst Du "ganz einfach" durch Multiplikation der beiden Polynome,
aber das [mm] \circ [/mm] ist ja keine Multiplikation, sondern eine Verkettung. Es werden ja in g(φ)∘{h(φ)} zwei lineare Funktionen verkettet.
Gruß v. Angela
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