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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Polynom 4. Ordnung
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Polynom 4. Ordnung: Polynom
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Di 08.04.2008
Autor: meldrolon

Aufgabe
Sei p ein gerades Polynom 4. Ordnung, d.h. p(−x) = p(x) f¨ur alle x element R.
Es gelte: p(1) = p(i) = 0 und p(0) = 1. Geben Sie p explizit an.

Die Nullstellen von p sind 1,−1, i und −i, also p(x) = c(x−1)(x+1)(x−i)(x−i) = [mm] c(x^2 -1)(x^2 [/mm] +1),
mit c element R . Wegen p(0) = 1 folgt −c = 1 , c = −1 , also
p(x) = [mm] -(x^2 [/mm] − [mm] 1)(x^2 [/mm] + 1) .

Dies ist meine erste lösung jedoch will ich eine andere und frag mich ob
meine nächste lösung auch richtig ist.

p(x)= [mm] \bruch{1}{(x-1)^2(x-i)^2} [/mm]

jetzt hab ich ja auch p(0)=1 und p(1) = p(i) = 0 oder lieg ich da falsch?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Polynom 4. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Di 08.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo meldrolon und erst einmal herzlich [willkommenmr]


> Sei p ein gerades Polynom 4. Ordnung, d.h. p(−x) =
> p(x) f¨ur alle x element R.
>  Es gelte: p(1) = p(i) = 0 und p(0) = 1. Geben Sie p
> explizit an.
>  Die Nullstellen von p sind 1,−1, i und −i,
> also p(x) = c(x−1)(x+1)(x−i)(x−i) = [mm]c(x^2 -1)(x^2[/mm]
> +1),
>  mit c element R . Wegen p(0) = 1 folgt −c = 1 , c =
> −1 , also
> p(x) = [mm]-(x^2[/mm] − [mm]1)(x^2[/mm] + 1) .
>  
> Dies ist meine erste lösung jedoch will ich eine andere und
> frag mich ob
>  meine nächste lösung auch richtig ist.
>  
> p(x)= [mm]\bruch{1}{(x-1)^2(x-i)^2}[/mm] [notok]

Zum einen ist das kein Poylnom, sondern eine (gebrochen-)rationale Funktion

>  
> jetzt hab ich ja auch p(0)=1 und p(1) = p(i) = 0 [notok] oder lieg
> ich da falsch?

Ja, liegst du! Das Teil ist doch für $x=1,i$ gar nicht definiert, da steht doch im Nenner ne 0

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus

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