Polynom 6 grades < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme zunachst alle Mehrfach-Nullstellen von f(x) =
[mm] x^6 [/mm] + [mm] 2x^5 [/mm] + [mm] 4x^4 [/mm] + [mm] 4x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 2x + 1 ∈ Q[x] – und dann auch die anderen. |
Meine frage zunächst einmal ,gibt es irgendwelche aus Zahlentheorie die die Sachen irgendwie vereinfachen ,aus Vl ist mir nur bekannt ,wenn [mm] x_{0} [/mm] eine mehrfach NST ist ,dann folgt [mm] f'(x_{0})=0
[/mm]
Dementsprechend habe ich die Ableitung gebildet ,
und f'(x)=2( [mm] 3x^5+5x^4+8x^3+6x^2+4x+1)
[/mm]
und komme nicht mehr weiter ,ich bitte um rat bzw Idee und verstehe auch gar nicht was der Prof von uns will ehrlich gesagt
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Fr 01.02.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo,
du könntest ggT(f,f') über den euklidischen Algorithmus ausrechnen.
Wobei die Rechnung wohl nicht sonderlich schön wird.
Keine Ahnung ob das die Intention der Aufgabe ist
Lg
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moin,
Zuerst einmal hat dieses Polynom überhaupt keine Nullstellen in [mm] $\IQ$, [/mm] die man bestimmen könnte.
Sollst du also Nullstellen in [mm] $\IC$ [/mm] suchen?
Dann müsstest du verraten, was du schon über das Suchen von Nullstellen weißt.
Oder weißt du, wie du dieses Polynom (über [mm] $\IQ$) [/mm] faktorisieren kannst; auch ohne die Nullstellen zu kennen?
Hattet ihr dafür Algorithmen in der Vorlesung; oder was habt ihr überhaupt schon in der Vorlesung zu dem Thema gemacht?
Der $ggT$ von $f$ und $f'$ ist bereits die Lösung des Problems, wenn du den ausrechnest ist der Rest kein Problem mehr; so lange du weißt, was er im Hinblick auf einfache oder mehrfache Nullstellen bedeutet.
Falls nicht dann erzähl mal ganz genau, was du schon weißt und was noch nicht und erzähle gezielt, wo dein Problem liegt.
lg
Schadow
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woher weißt du (ohne wolfram) dass dieses polynom über der rationalen Zahlen(Q) keine NST hat ,dass Eisensteinkriterium wäre noch eine option zu sagen ,dass das Polynom irreduzibel ist aber ,wenn das Polynom nach Aufgaben aussage NST entfällt dieses Kriterium.
Also nur durch die zusatzinformation weiß ich jetzt dass das Polynom mehrfach NST hat , dann werde ich ggt f und f' bestimmen (danke erstmal )
aber wie würde man solche polynom noch lösen können wenn keine Mehrfachnst gäbe ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 03.02.2013 | | Autor: | abakus |
> woher weißt du (ohne wolfram) dass dieses polynom über
> der rationalen Zahlen(Q) keine NST hat ,dass
> Eisensteinkriterium wäre noch eine option zu sagen ,dass
> das Polynom irreduzibel ist aber ,wenn das Polynom nach
> Aufgaben aussage NST entfällt dieses Kriterium.
>
> Also nur durch die zusatzinformation weiß ich jetzt dass
> das Polynom mehrfach NST hat , dann werde ich ggt f und f'
> bestimmen (danke erstmal )
>
> aber wie würde man solche polynom noch lösen können wenn
> keine Mehrfachnst gäbe ?
>
>
Hallo,
ich glaube, ich habe mal irgendwo etwas gelesen über die Besonderheit von Polynomen mit symmetrischen Koeffizienten (Hier: 1,2,4,4,4,2,1).
Ich weiß aber nicht mehr wo und was das konkret war.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Man bestimme zunachst alle Mehrfach-Nullstellen von f(x) =
> [mm]x^6[/mm] + [mm]2x^5[/mm] + [mm]4x^4[/mm] + [mm]4x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 2x + 1 ∈ Q[x] – und
> dann auch die anderen.
> Meine frage zunächst einmal ,gibt es irgendwelche aus
> Zahlentheorie die die Sachen irgendwie vereinfachen ,aus Vl
> ist mir nur bekannt ,wenn [mm]x_{0}[/mm] eine mehrfach NST ist ,dann
> folgt [mm]f'(x_{0})=0[/mm]
Mach doch ersteinmal eine Polynomdivision durch x+1, denn x=-1 ist eine Nullstelle von f(x).
Sorry, ich sollte das Rechnen lassen, das passt so leider nicht.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:20 So 03.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> > Man bestimme zunachst alle Mehrfach-Nullstellen von f(x) =
> > [mm]x^6[/mm] + [mm]2x^5[/mm] + [mm]4x^4[/mm] + [mm]4x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 2x + 1 ∈ Q[x] –
> und
> > dann auch die anderen.
> > Meine frage zunächst einmal ,gibt es irgendwelche aus
> > Zahlentheorie die die Sachen irgendwie vereinfachen ,aus Vl
> > ist mir nur bekannt ,wenn [mm]x_{0}[/mm] eine mehrfach NST ist ,dann
> > folgt [mm]f'(x_{0})=0[/mm]
>
> Mach doch ersteinmal eine Polynomdivision durch x+1, denn
> x=-1 ist eine Nullstelle von f(x).
Hallo Marius, da hast du dich verrechnet.
Laut wolframalpha lässt sich f(x) als Produkt
[mm] $(1+x^2)(1+x+x^2)^2$ [/mm] schreiben, mit -1 ist weder die erste noch die zweite Klammer Null.
Gruß Abakus
>
> Marius
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:23 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
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> > Hallo
> >
> >
> > > Man bestimme zunachst alle Mehrfach-Nullstellen von f(x) =
> > > [mm]x^6[/mm] + [mm]2x^5[/mm] + [mm]4x^4[/mm] + [mm]4x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 2x + 1 ∈ Q[x]
> –
> > und
> > > dann auch die anderen.
> > > Meine frage zunächst einmal ,gibt es irgendwelche
> aus
> > > Zahlentheorie die die Sachen irgendwie vereinfachen ,aus Vl
> > > ist mir nur bekannt ,wenn [mm]x_{0}[/mm] eine mehrfach NST ist ,dann
> > > folgt [mm]f'(x_{0})=0[/mm]
> >
> > Mach doch ersteinmal eine Polynomdivision durch x+1, denn
> > x=-1 ist eine Nullstelle von f(x).
> Hallo Marius, da hast du dich verrechnet.
> Laut wolframalpha lässt sich f(x) als Produkt
> [mm](1+x^2)(1+x+x^2)^2[/mm] schreiben, mit -1 ist weder die erste
> noch die zweite Klammer Null.
> Gruß Abakus
> >
Hallo Abakus
Danke fürs korrigieren, ich habe es geändert.
> > Marius
> >
>
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 So 03.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 03.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
alles klar ich dummi , ich muss den ggt berechnen ,wenn f keine mehrfach nst hat dann ist der ggt =1 ,und falls mehrfach nst ist der ggt anders danke 
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Jungs ich komme nicht mehr weiter bei der ggt bestimmung
ich erhalte eine größeren rest als f'
[mm] x^6+2x^5+4x^4+4x^3+4x^2+2x+1 =x*(6x^5+10x^4+16x^3+12x^2+8x+2)+(-5x^6-8x^5-12x^4-8x^3-4x^2+1)
[/mm]
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Hallo Decehakan,
> Jungs ich komme nicht mehr weiter bei der ggt bestimmung
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> ich erhalte eine größeren rest als f'
>
> [mm]x^6+2x^5+4x^4+4x^3+4x^2+2x+1 =x*(6x^5+10x^4+16x^3+12x^2+8x+2)+(-5x^6-8x^5-12x^4-8x^3-4x^2+1)[/mm]
>
Es muss doch sein:
[mm]x^6+2x^5+4x^4+4x^3+4x^2+2x+1=[/mm]
[mm]a*x*(6x^5+10x^4+16x^3+12x^2+8x+2)+b*x^{5}+c*x^{4}+d*x^{3}+e*x^{2}+f*x+g[/mm]
wobei [mm]x^{6}=a*x*x^{5}[/mm].
Damit ergeben sich die Koeffizienten b,c,d,e,f,g entsprechend.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 So 03.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
danke ,ich weiß jetzt wie ich vorgehen muss :)
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