www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Polynom Grad 2 in LGS
Polynom Grad 2 in LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polynom Grad 2 in LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Das Problem ein Polynom zweites Grades zu finden, dessen Graph durch drei vorgegebene Punkte [m](x_i, y_i), \, i = 1, ..., 3[/m] läuft,
führt auf ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.

a) Stellen Sie dieses Gleichungssystem auf und geben Sie die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite [m]b[/m] an.
Hinweis: Richten Sie die drei Unbekannten im Vektor so ein, dass die erste Unbekannte von [m]x^{0}[/m] im Polynom ist,
die zweite der von [m]x^{1}[/m] und die dritte der von [m]x^{2}[/m].

b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus [m]det(A)[/m].

c) Bestimmen Sie das gesuchte Polynom für die drei Punkte [m](1,3), (2,16), (3,37)[/m].

Hallo zusammen.

Ich schreibe erstmal die allgemeine Form eines Polynoms zweites Grades auf:

[m]\summe_{i=0}^{2} a_{i} x^{i} = a_0x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2, \; a_0, a_1, a_2 \in \IR[/m]

Ich versuche mal das Gleichungssystem aufzustellen. Aus der Aufgabenstellung geht heraus, dass es eine Matrix [m]A[/m] mit [m]A \in \R^{3x3}[/m] und [m]b \in \IR^{3}[/m] sein muss (also drei Gleichungen und drei Unbekannte). Gesucht ist der Lösungsvektor, bestehend aus den Koeffizienten von [mm] x^0, x^1,x^2[/mm]   [m]\vec x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m].

Sei [m]A*x = b[/m] mit [m]A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \end{pmatrix} [/m]

Ich komme hier mit den Dimensionen nicht zurecht.

A sollte [m]A \in \IR^{3x3}[/m] sein. Die rechte Seite b sollte [m]b \in \IR^{3}[/m] sein und der Lösungsvektor [mm] \vec [/mm] x sollte  [m]x \in \IR^{3}[/m] (ist er auch).

Würde lieber die [mm] x_0, x_1, x_2 [/mm] des Polynoms in die Matrix A schreiben und die Punkte in die rechte Seite b (da variabel).

Hat hier jemand einen Tipp für mich?

Die Teilaufgaben b) und c) lassen sich ja nur lösen, wenn a) bearbeitet wurde.

Danke!

        
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 So 06.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Das Problem ein Polynom zweites Grades zu finden, dessen
> Graph durch drei vorgegebene Punkte [m](x_i, y_i), \, i = 1, ..., 3[/m]
> läuft,
>  führt auf ein lineares Gleichungssystem mit drei
> Gleichungen und drei Unbekannten.
>  
> a) Stellen Sie dieses Gleichungssystem auf und geben Sie
> die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite [m]b[/m] an.
>  Hinweis: Richten Sie die drei Unbekannten im Vektor so
> ein, dass die erste Unbekannte von [m]x^{0}[/m] im Polynom ist,
>  die zweite der von [m]x^{1}[/m] und die dritte der von [m]x^{2}[/m].
>  
> b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus [m]det(A)[/m].
>  
> c) Bestimmen Sie das gesuchte Polynom für die drei Punkte
> [m](1,3), (2,16), (3,37)[/m].
>  Hallo zusammen.
>  
> Ich schreibe erstmal die allgemeine Form eines Polynoms
> zweites Grades auf:
>  
> [m]\summe_{i=0}^{2} a_{i} x^{i} = a_0x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2, \; a_0, a_1, a_2 \in \IR[/m]
>  
> Ich versuche mal das Gleichungssystem aufzustellen. Aus der
> Aufgabenstellung geht heraus, dass es eine Matrix [m]A[/m] mit [m]A \in \R^{3x3}[/m]
> und [m]b \in \IR^{3}[/m] sein muss (also drei Gleichungen und drei
> Unbekannte). Gesucht ist der Lösungsvektor, bestehend aus
> den Koeffizienten von [mm]x^0, x^1,x^2[/mm]   [m]\vec x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m].
>  
> Sei [m]A*x = b[/m] mit [m]A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \end{pmatrix}[/m]
>  
> Ich komme hier mit den Dimensionen nicht zurecht.

Das wär hier ein guter Hinweis einzusehen, dass das was du hier versuchst Müll ist.

> A sollte [m]A \in \IR^{3x3}[/m] sein. Die rechte Seite b sollte [m]b \in \IR^{3}[/m]
> sein und der Lösungsvektor [mm]\vec[/mm] x sollte  [m]x \in \IR^{3}[/m]
> (ist er auch).
>  
> Würde lieber die [mm]x_0, x_1, x_2[/mm] des Polynoms in die Matrix
> A schreiben und die Punkte in die rechte Seite b (da
> variabel).

Mal abgesehen davon, dass Methematik kein Wunschkonzert ist, was hält dich davon ab das zu tun?

> Hat hier jemand einen Tipp für mich?
>  
> Die Teilaufgaben b) und c) lassen sich ja nur lösen, wenn
> a) bearbeitet wurde.
>  
> Danke!


Bezug
        
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Hallo nochmal.

Man könnte die Matrix A folgendermaßen umschreiben, dass es eine 3x3 Matrix entsteht:

[m]A = \begin{pmatrix} x_0 & 0 & 0 \\ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 \end{pmatrix}[/m] und der Lösungsvektor [m]x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m] wird beibehalten.... dann entsteht durch Matrixmultiplikation genau das obige Polynom zweiten Grades und es sind ja gerade die Koeffizienten gesucht, die zu dann eingesetzten Punkten das entstehende Polynom ausgeben.

Nur wie sieht es dann mit den Punkten [m](x_i, y_i), \; i=1,...,3[/m] aus?
Die rechte Seite [m]b[/m] muss im Spaltenrang von A sein sein, also es muss gelten: [m]b \in \IR^3[/m].
Wie bringe ich die Punkte als Komponenten in der rechten Seiten b unter? (wenn das überhaupt so gemacht werden muss)

Bezug
                
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 So 06.07.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Hallo nochmal.
>  
> Man könnte die Matrix A folgendermaßen umschreiben, dass
> es eine 3x3 Matrix entsteht:
>  
> [m]A = \begin{pmatrix} x_0 & 0 & 0 \\ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 \end{pmatrix}[/m]
> und der Lösungsvektor [m]x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}[/m]
> wird beibehalten.... dann entsteht durch
> Matrixmultiplikation genau das obige Polynom zweiten Grades
> und es sind ja gerade die Koeffizienten gesucht, die zu
> dann eingesetzten Punkten das entstehende Polynom
> ausgeben.

Könntest du mir das mal explizit vorrechnen?

> Nur wie sieht es dann mit den Punkten [m](x_i, y_i), \; i=1,...,3[/m]
> aus?
>  Die rechte Seite [m]b[/m] muss im Spaltenrang von A sein sein,
> also es muss gelten: [m]b \in \IR^3[/m].
>  Wie bringe ich die
> Punkte als Komponenten in der rechten Seiten b unter? (wenn
> das überhaupt so gemacht werden muss)


Bezug
                        
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Ich glaub, wenn ich die Aufgabe verstanden hätte, würde ich kaum einen Artikel hierzu schreiben oder? ;)

Was ich durch A*x erhalten würde, wobei [m]A \in \IR^{3 \times 3}, x \in \IR^{3}[/m] wäre folgendes:

[mm] x_0a_0 [/mm] + [mm] x_1a_1 [/mm] + [mm] x2_a_2 [/mm] = "rechte Seite b"

Es entsteht also eine Produkt (A*x) mit (A*x) [mm] \in \IR^3 [/mm]

Nur mit der rechten Seite b verstehe ich es nicht... es sollte dort die Elemente mit den Punkte belegt werden, klappt aber nicht...

Bezug
                                
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 So 06.07.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Ich glaub, wenn ich die Aufgabe verstanden hätte, würde
> ich kaum einen Artikel hierzu schreiben oder? ;)

Was willst du mir damit sagen?  

> Was ich durch A*x erhalten würde, wobei [m]A \in \IR^{3 \times 3}, x \in \IR^{3}[/m]
> wäre folgendes:
>  
> [mm]x_0a_0[/mm] + [mm]x_1a_1[/mm] + [mm]x2_a_2[/mm] = "rechte Seite b"

Nein. nxm-Matrix mal mx1 vektor ergibt nx1-Vektor, also hier keine Zahl.
Mal ganz abgesehen davon, was hat [mm] $x_0a_0+x_1a_1+x_2a_2$ [/mm] mit dem gesuchten polynom zu tun?

> Es entsteht also eine Produkt (A*x) mit (A*x) [mm]\in \IR^3[/mm]
>  

Wie bitte? Wieso sollte Ax*Ax berechnet werden? Wieso sollte man das wollen? Mal ganz abgesehen davon, dass es nicht geht weil man einen 3x1-Vektor nicht mit einem 3x1-Vektor multiplizieren kann.

> Nur mit der rechten Seite b verstehe ich es nicht... es
> sollte dort die Elemente mit den Punkte belegt werden,
> klappt aber nicht...


Bezug
                                        
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

...über einen 'heißen' Tipp von Deiner Seite wäre ich dankbar ;)
Das will ich damit sagen!

Ich blicke jetzt nicht mehr durch!

Bezug
                                                
Bezug
Polynom Grad 2 in LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 06.07.2014
Autor: Leopold_Gast

Ein Beispiel.

Finde ein Polynom höchstens zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte [mm](-2,31),(1,1),(3,1)[/mm] geht.

Mit dem Ansatz

[mm]p(t) = u + vt + wt^2[/mm]

sollen also [mm]p(-2)=31[/mm], [mm]p(1)=1[/mm] und [mm]p(3)=1[/mm] gelten. Das führt auf das lineare Gleichungssystem

[mm]\begin{matrix} u - 2v + 4w = 31 \\ u + v + w = 1 \\ u + 3v + 9w = 1 \end{matrix}[/mm]

Mit Hilfe von

[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 31 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ x = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}[/mm]

kann das in der Form

[mm]Ax = b[/mm]

geschrieben werden. Man findet in diesem Fall [mm]u=7, \, v=-8, \,w=2[/mm] als Lösung.

Und diese Aufgabe sollst du jetzt verallgemeinern. Statt konkreter Punkte hast du die Punkte [mm](x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3)[/mm]. Der Ansatz für [mm]p(t)[/mm] ist wie oben. Die Bedingungen lauten [mm]p(x_1)=y_1, \, p(x_2)=y_2, \, p(x_3)=y_3[/mm]. Die erste einmal ausgeschrieben:

[mm]u + x_1 v + {x_1}^2 w = y_1[/mm]

Jetzt stelle die andern Bedingungen auf und bestimme [mm]A,b[/mm] ganz wie im Beispiel.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de