Polynom Nullstelle < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | | Beweisen Sie folgene Bemerkung: Ist [mm] X^2+pX+q \in \IR [/mm] [X] ein Polynom mit nicht-reeler Nullstelle [mm] \alpha, [/mm] dann ist [mm] \overline{\alpha} [/mm] eine weitere Nullstelle. |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz
0= [mm] \alpha^2+p*\alpha+q \gdw \overline{0} [/mm] = [mm] \overline{\alpha^2+p*\alpha+q}
[/mm]
Also für [mm] \overline{\alpha} [/mm] können wir auch (a-bi) sagen, aber ist das hier überhaupt wichtig. Wie kann ich weiter vorgehen?
Freue mich über eure Antworten
Gabbabin
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Hallo Gabbabin,
> Beweisen Sie folgene Bemerkung: Ist [mm]X^2+pX+q \in \IR[/mm] [X]
> ein Polynom mit nicht-reeler Nullstelle [mm]\alpha,[/mm] dann ist
> [mm]\overline{\alpha}[/mm] eine weitere Nullstelle.
> Hallo,
>
> ich habe folgenden Ansatz
>
> 0= [mm]\alpha^2+p*\alpha+q \gdw \overline{0}[/mm] = [mm]\overline{\alpha^2+p*\alpha+q}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also für [mm]\overline{\alpha}[/mm] können wir auch (a-bi) sagen,
> aber ist das hier überhaupt wichtig.
Nein, das brauchst du hier nicht!
> Wie kann ich weiter vorgehen?
Forme letzteren Ausdruck weiter um, bis du [mm]\overline{\alpha}^2+p\cdot{}\overline{\alpha}+q[/mm] dastehen hast. Nutze dazu die Eigenschaften der komplexen Konjugation ...
Beachte, dass für reelles [mm]r[/mm] gilt [mm]\overline{r}=r[/mm]
Du bist schon fast fertig 
Der Ansatz ist goldrichtig!
>
> Freue mich über eure Antworten
>
> Gabbabin
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
[mm] \overline{0} [/mm] = [mm] \overline{\alpha^2+p\cdot{}\alpha+q} [/mm]
Da für alle x,y [mm] \in \IC [/mm] gilt [mm] \overline{x+y} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{y} [/mm] und [mm] \overline{x*y} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] * [mm] \overline{y} [/mm] folgt
[mm] \overline{\alpha^2} [/mm] + [mm] \overline{p}*\overline{\alpha}+\overline{q} [/mm] / da für r [mm] \in \IR \overline{r} [/mm] = r gilt folgt
0 = [mm] \overline{\alpha^2}+p*\overline{\alpha}+q
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Oder hat man es jetzt schon gezeigt?
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Hallo Gabbabin,
> [mm]\overline{0}[/mm] = [mm]\overline{\alpha^2+p\cdot{}\alpha+q}[/mm]
> Da für alle x,y [mm]\in \IC[/mm] gilt [mm]\overline{x+y}[/mm] = [mm]\overline{x}[/mm]
> + [mm]\overline{y}[/mm] und [mm]\overline{x*y}[/mm] = [mm]\overline{x}[/mm] *
> [mm]\overline{y}[/mm] folgt
> [mm]\overline{\alpha^2}[/mm] +
> [mm]\overline{p}*\overline{\alpha}+\overline{q}[/mm] / da für r [mm]\in \IR \overline{r}[/mm]
> = r gilt folgt
>
> 0 = [mm]\overline{\alpha^2}+p*\overline{\alpha}+q[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Oder hat man es jetzt
> schon gezeigt?
Jetzt musst Du noch zeigen, daß
[mm]\overline{\alpha^2}=\overline{\alpha}^{2}[/mm]
ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Hallo MathePower,
>
> Jetzt musst Du noch zeigen, daß
>
> [mm]\overline{\alpha^2}=\overline{\alpha}^{2}[/mm]
>
> ist.
Warum muss ich das zeigen? Also wie kommt man jetzt überhaupt auf [mm] \overline{\alpha}^{2} [/mm] ist das auch eine reele Zahl?
Gruß Gabbabin
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Hallo nochmal,
> Hallo MathePower,
>
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> >
> > Jetzt musst Du noch zeigen, daß
> >
> > [mm]\overline{\alpha^2}=\overline{\alpha}^{2}[/mm]
> >
> > ist.
>
> Warum muss ich das zeigen?
Na, du willst doch zeigen, dass [mm]\overline\alpha[/mm] eine NST des Polynoms [mm]X^2+pX+q[/mm] ist mit [mm]p,q\in\IR[/mm]
Dh. doch, dass gelten muss [mm](\overline\alpha)^2+p\cdot\overline\alpha+q=0[/mm] ist.
Du hast aber ersteres, also [mm]\overline{\left(\alpha^2\right)}[/mm], noch nicht aufgedröselt.
Aber [mm]\overline{\left(\alpha^2\right)}=\overline{\alpha\cdot{}\alpha}=\overline\alpha\cdot{}\overline\alpha=\left(\overline{\alpha}\right)^2[/mm]
> Also wie kommt man jetzt
> überhaupt auf [mm]\overline{\alpha}^{2}[/mm] ist das auch eine
> reele Zahl?
Im Allg. nicht!
>
>
> Gruß Gabbabin
>
Gruß
schachuzipus
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