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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 So 02.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Zeige:
Ist [mm] \IK [/mm] ein Körper mit unendlich vielen Elementen, dann ist die Abbildung [mm] \IK[z] [/mm] -> [mm] F(\IK,\IK) [/mm] , die einem Polynom p die Polynomfunktion x -> p(x), x [mm] \in \IK, [/mm] zuordnet injektiv. In diesem Fall ist ein Polynom völlig durch die entsprechende Polynomfunktion bestimmt. |
Angenommen:
[mm] (x->p_1(x)) [/mm] = [mm] (x->p_2(x)) [/mm]
d.h. [mm] p_1(x)=p_2(x) [/mm] für alle [mm] x\in\IK.
[/mm]
ZuZeigen: [mm] p_1 [/mm] = [mm] p_2
[/mm]
Ist das nicht offensichtlich wenn sie auf allen x [mm] \in \IK [/mm] übereinstimmen.
Das kommt mir komisch vor.
Frage2; Kann mir wer ein bsp nennen, dass es bei einen endlichen Körper nicht gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 So 02.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] p1=x^2+1
[/mm]
p2=x+1
auf [mm] K=\IZ_2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 02.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Das werde ich mir nochmal anscauen.
Und was sagt du zu meiner ersten Frage? Mit der Injektivität?
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> Und was sagt du zu meiner ersten Frage? Mit der
> Injektivität?
Hallo quasimo,
nimm einmal an, p und q seien zwei verschiedene
Polynome über K, welche aber in allen ihren
(unendlich vielen) Funktionswerten unterscheiden.
Dann ist es bestimmt hilfreich, sich einmal das
Differenzpolynom d mit
d(x):=p(x)-q(x)
näher anzuschauen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Do 13.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Das Beispiel von leduart ist nun klar.
Jetzt bin ich auch soweit, dass ich die Begriffe Polynom(=formale Ausdruck) und Polynomfunktion(für Variable konkrete Werte aus dem Körper einsetzten) verstehe.
> nimm einmal an, p und q seien zwei verschiedene
> Polynome über K, welche aber in allen ihren
> (unendlich vielen) Funktionswerten unterscheiden.
> Dann ist es bestimmt hilfreich, sich einmal das
> Differenzpolynom d mit
> d(x):=p(x)-q(x)
Dann ist [mm] d(x)\not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IK
[/mm]
Was bringt mir das?
Kannst du mir da vlt. nochmals helfen?
In meiner Überlegung hat das aber weitergeholfen:
Angenommen:
$ [mm] (x->p_1(x)) [/mm] $ = $ [mm] (x->p_2(x)) [/mm] $
d.h. $ [mm] p_1(x)=p_2(x) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IK. [/mm] $
d.h. die Polynomfunktionen stimmen überein
<=> [mm] p_1 [/mm] (x) - [mm] p_2 [/mm] (x) =0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IK
[/mm]
d.h. das Polynom [mm] p_1 -p_2 [/mm] hat unendlich viele Nullstellen (alle Elemente in [mm] \IK) [/mm] Und das ist nur möglich wenn [mm] p_1 [/mm] - [mm] p_2 [/mm] das Nullpolynom ist
[mm] p_1 [/mm] = [mm] p_2
[/mm]
Kommt mir falsch vor und woran es bei endliche Körpern scheitert ist mir da noch nicht klar.
LG,
quasimo
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> woran es bei endliche Körpern
> scheitert ist mir da noch nicht klar.
Hallo quasimo,
da ein endlicher Körper [mm] \IK [/mm] , wie der Name sagt, nur
endlich viele Elemente hat, ist es leicht, ein Polynom
$\ p$ zu konstruieren, welches nicht das Nullpolynom ist,
aber trotzdem für alle Elemente [mm] x_i \in\IK [/mm] den Wert 0 liefert,
nämlich:
$\ p(x)\ =\ [mm] \prod_{x_i\in\, \IK}(x-x_i)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
in der Aufgabenstellung heißt es:
"Ist $ [mm] \IK [/mm] $ ein Körper mit unendlich vielen Elementen....."
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 13.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Okay, also passt mein beweis im vorigen Beitrag=?
> Angenommen:
> $ [mm] (x->p_1(x)) [/mm] $ = $ [mm] (x->p_2(x)) [/mm] $
> d.h. $ [mm] p_1(x)=p_2(x) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IK. [/mm] $
> d.h. die Polynomfunktionen stimmen überein
> <=> $ [mm] p_1 [/mm] $ (x) - $ [mm] p_2 [/mm] $ (x) =0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in \IK [/mm] $
> d.h. das Polynom $ [mm] p_1 -p_2 [/mm] $ hat unendlich viele Nullstellen (alle Elemente in $ [mm] \IK) [/mm] $ Und das ist nur möglich wenn $ [mm] p_1 [/mm] $ - $ [mm] p_2 [/mm] $ das Nullpolynom ist
> $ [mm] p_1 [/mm] $ = $ [mm] p_2 [/mm] $
Wie wolltest du den Beweis zu ende führen, den du in deinen vorletzten beitrag begonnen hast=?
LG,
quasimo
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> Okay, also passt mein beweis im vorigen Beitrag=?
> > Angenommen:
> > [mm](x->p_1(x))[/mm] = [mm](x->p_2(x))[/mm]
> > d.h. [mm]p_1(x)=p_2(x)[/mm] für alle [mm]x\in\IK.[/mm]
> > d.h. die Polynomfunktionen stimmen überein
> > <=> [mm]p_1[/mm] (x) - [mm]p_2[/mm] (x) =0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IK[/mm]
> > d.h. das
> Polynom [mm]p_1 -p_2[/mm] hat unendlich viele Nullstellen (alle
> Elemente in [mm]\IK)[/mm] Und das ist nur möglich wenn [mm]p_1[/mm] - [mm]p_2[/mm]
> das Nullpolynom ist
> > [mm]p_1[/mm] = [mm]p_2[/mm]
>
> Wie wolltest du den Beweis zu ende führen, den du in
> deinen vorletzten beitrag begonnen hast=?
>
> LG,
> quasimo
Hallo,
deine oben angedeuteten Ideen sind korrekt. Es geht noch
um den Nachweis, dass ein Polynom (in einem Polynomring
über einem beliebigen Körper), das nicht das Nullpolynom ist,
höchstens soviele Nullstellen haben kann, wie seinem Grad
entspricht. Dazu, dass dieser Satz nicht nur im Polynomring
über [mm] \IR [/mm] gilt:
![[]](/images/popup.gif) Anzahl der Nullstellen von Polynomen
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke ist geklärt-
LG,
quasimo
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> Hallo Al,
>
> in der Aufgabenstellung heißt es:
>
> "Ist [mm]\IK[/mm] ein Körper mit unendlich vielen Elementen....."
>
> Gruß FRED
Hallo Fred,
ich weiß, aber diese meine letzte Antwort bezog sich
auf die ursprüngliche Frage 2:
>> "Frage 2: Kann mir wer ein Bsp nennen, dass es bei
>> einem endlichen Körper nicht gilt?"
LG Al-Chw.
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