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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Do 30.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Folgende Werte sind gegeben:
(5,4); (7,1); (2,6)
entwickeln sie daraus ein Polynom, dass die geforderten Stützstellen enthält. |
Hallo Zusammen,
ich habe das ganze über das Interpolationspolynom von Newton gemacht, als Erstes die Gleichung aufgestellt:
f(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] (x-5) + [mm] a_2 [/mm] (x-5)(x-7)
Danach das Differenzschema gebildet und für die Koeffizienten folgende Werte erhalten:
[mm] a_0 [/mm] = 4
[mm] a_1 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}
[/mm]
Dies nun in die Gleichung oben einsetzen:
y = 4 [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] (x-5) [mm] -\bruch{1}{6} [/mm] (x-5)(x-7)
Danach das Ganze ausmultiplizieren und ich erhalte: y = [mm] -\bruch{1}{6}x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{17}{3}
[/mm]
Dies müsste soweit auch stimmen.
Jedoch hatten wir in der Vorlesung einen anderen Ansatz und zwar:
f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
Nun setzt man der Reihe nach die Sützstellen und Stützwerte ein und erhält für die Koeffizienten:
a= [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
b = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
c = [mm] \bruch{6}{15}
[/mm]
Dies nun wieder eingesetzt: f(x) = [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] (x-5)(x-7) + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] (x-5)(x-2) + [mm] \bruch{6}{15} [/mm] (x-7)(x-2)
Wenn man dies nun ausmultipliziert erhält man genau das selbe Ergebnis, wie über das Interpolationspolynom von Newton.
Mich würde interessieren, ob dieser Ansatz:
f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
immer Gültigkeit hat und vor allem wie dieser Ansatz heisst? Wo finde ich etwas dazu? In der Literatur finde ich nur den Ansatz von Newton, Lagrange.
Gruß
itse
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> Folgende Werte sind gegeben:
>
> (5,4); (7,1); (2,6)
>
> entwickeln sie daraus ein Polynom, dass die geforderten
> Stützstellen enthält.
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe das ganze über das Interpolationspolynom von
> Newton gemacht, als Erstes die Gleichung aufgestellt:
>
> f(x) = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] (x-5) + [mm]a_2[/mm] (x-5)(x-7)
>
> Danach das Differenzschema gebildet und für die
> Koeffizienten folgende Werte erhalten:
>
> [mm]a_0[/mm] = 4
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]a_2[/mm] = [mm]-\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Dies nun in die Gleichung oben einsetzen:
>
> y = 4 [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] (x-5) [mm]-\bruch{1}{6}[/mm] (x-5)(x-7)
>
> Danach das Ganze ausmultiplizieren und ich erhalte: y =
> [mm]-\bruch{1}{6}x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{17}{3}[/mm]
>
> Dies müsste soweit auch stimmen.
>
> Jedoch hatten wir in der Vorlesung einen anderen Ansatz und
> zwar:
>
> f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
>
> Nun setzt man der Reihe nach die Sützstellen und Stützwerte
> ein und erhält für die Koeffizienten:
>
> a= [mm]-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> b = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> c = [mm]\bruch{6}{15}[/mm]
>
> Dies nun wieder eingesetzt: f(x) = [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] (x-5)(x-7)
> + [mm]\bruch{1}{10}[/mm] (x-5)(x-2) + [mm]\bruch{6}{15}[/mm] (x-7)(x-2)
>
> Wenn man dies nun ausmultipliziert erhält man genau das
> selbe Ergebnis, wie über das Interpolationspolynom von
> Newton.
Hallo,
das ist schonmal beruhigend, denn das Interpolationspolynom (hier: vom Grad 2) ist ja eindeutig.
>
> Mich würde interessieren, ob dieser Ansatz:
>
> f(x) = a(x-5)(x-7) + b (x-5)(x-2) + c (x-7)(x-2)
>
> immer Gültigkeit hat
Ja, der muß ja funktionieren, weil für jede eingesetze Stützstelle immer zwei der Summanden=0 werden.
> und vor allem wie dieser Ansatz
> heisst? Wo finde ich etwas dazu? In der Literatur finde ich
> nur den Ansatz von Newton, Lagrange.
Ob das einen eigenen Namen hat, wage ich zu bezweifeln.
Ich würde das unter Lagrange verbuchen, denn Deine Polynome (x-5)(x-7), (x-5)(x-2), (x-7)(x-2) sind ja Vielfache der Lagrangepolynome, und der Gedanke ist völlig gleich.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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