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| Aufgabe | [mm] x^{5}+x^{4}+x+1
[/mm]
Vollständige Faktorisierung angeben , in [mm] \IR [/mm] [x] und in [mm] \IC [/mm] [x] |
Hallo,
ich habe eine Fragezu der Aufgabe.
Ich habe die erste Nullstelle durch Raten rausgefunden. -1
Dann habe ich eine Polynomdivision gemacht:
[mm] x^{5}+ x^{4} [/mm] + x + 1 : (x+1) = [mm] x^{4} [/mm] + 1
Jetzt muss ich die nächste Nullstelle rausfinden:
[mm] x^{4} [/mm] + 1 = 0
x = [mm] \wurzel[4]{-1}
[/mm]
Jetzt gibt es k Lösungen , in diesem Fall für k = 0 , k=1, k=2, k= 3
Das sind 4 Nullstellen in [mm] \IC [/mm] , und dann hatte ich oben eine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] und da das Polynom ein Polynom 5. Grades ist , habe ich ingesamt 5 Nullstellen. Ich muss also jetzt noch die komplexen Nullstellen rausfinden und dann wars das oder ? Und natürlich dann die Faktorisierung angeben. Wär ich dann fertig ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> [mm]x^{5}+x^{4}+x+1[/mm]
> Vollständige Faktorisierung angeben , in [mm]\IR[/mm] [x] und in
> [mm]\IC[/mm] [x]
> Hallo,
> ich habe eine Fragezu der Aufgabe.
>
> Ich habe die erste Nullstelle durch Raten rausgefunden. -1
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich eine Polynomdivision gemacht:
>
> [mm]x^{5}+ x^{4}[/mm] + x + 1 : (x+1) = [mm]x^{4}[/mm] + 1
>
Das darfst du so aber nicht schreiben! Da gehören Klammern um den Dividend:
[mm] (x^5+x^4+x+1):(x+1)=x^4+1
[/mm]
Einfacher geht es übrigens hier, wenn man einfach faktorisiert:
[mm] x^5+x^4+x+1=x^4*(x+1)+x+1=(x^4+1)*(x+1)
[/mm]
> Jetzt muss ich die nächste Nullstelle rausfinden:
>
> [mm]x^{4}[/mm] + 1 = 0
> x = [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm]
>
> Jetzt gibt es k Lösungen , in diesem Fall für k = 0 ,
> k=1, k=2, k= 3
>
> Das sind 4 Nullstellen in [mm]\IC[/mm] , und dann hatte ich oben
> eine Nullstelle in [mm]\IR[/mm] und da das Polynom ein Polynom 5.
> Grades ist , habe ich ingesamt 5 Nullstellen. Ich muss
> also jetzt noch die komplexen Nullstellen rausfinden und
> dann wars das oder ? Und natürlich dann die Faktorisierung
> angeben. Wär ich dann fertig ?
>
Dann wärst du fertig. Beachte, dass ich dir die Faktorisierung in [mm] \IR [/mm] angegeben habe. Die in [mm] \IC [/mm] finde selber, wenn du die Nullstellen hast, ist das eine leichte Übung.
So BTW: wo liegen denn alle Nullstellen der Gleichung
[mm] z^n=c
[/mm]
in der Gauß'schen Ebene?
Wenn man das weiß, so kommt man manchmal, so wie hier, sehr einfach zu den weiteren Nullstellen, wenn man nmal eine gefunden hat.
Gruß, Diophant
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Hallo und danke für die Antwort.
Also wenn ich die 4 Nullstellen (die komplexen) einzeichne , habe ich auf dem Einheitskreis ein Viereck.
Der eine Punkt liegt auf der positiven Re - Achse , ~0,7
und auf der negativen Re-Achse dann entsprechend -0,7
und dann die beiden Punkte jeweils gespiegelt, ergibt ein schönes Viereck. Die Idee mit der einen Nullstelle und dann die restlichen rausfinden, ist echt genial. Darauf bin ich noch nicht gekommen, danke dafür. Erleichtert sicherlich einige Aufgaben.
Danke dafür !
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Hallo pc-doctor,
~0,7 ist nicht die verlangte Lösung, auch nicht ~0,707, was noch genauer wäre.
Gib sie exakt an.
Grüße
reverend
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