Polynom irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 05.06.2007 | | Autor: | biancab |
| Aufgabe | welche der folgenden Polynome sind irreduzibel(in [mm]\IQ[X][/mm])
i) [mm]X^{13}+42X^5+84X^2+14[/mm]
ii) [mm]X^3+5X^2+aX+1[/mm] ([mm]a\in\IZ[/mm])
iii) [mm]X^4+4[/mm]
iv) [mm]X^4+X^3+X^2+X+1[/mm]
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weiß nicht wie ich das angehen soll, kann mir jemand vielleicht weiethelfen? danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 06.06.2007 | | Autor: | DirkG |
Zu i) Kennst du das ![[]](/images/popup.gif) Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein ? Passt hier genau mit $p=7$.
ii) als Polynom dritten Grades ist nur dann reduzibel, wenn eine ganzzahlige Wurzel existiert. Diese muss ein Teiler des Absolutgliedes 1 sein, kann also nur +1 oder -1 sein. Für [mm] $f(X)=X^3+5X^2+aX+1$ [/mm] ist nun $f(1)=a+7$ sowie $f(-1)=-a+5$.
D.h., für $a=-7$ gibt es die Zerlegung
[mm] $$X^3+5X^2-7X+1 [/mm] = [mm] (X-1)(X^2+6X-1)$$
[/mm]
und für $a=5$ entsprechend
[mm] $$X^3+5X^2+5X+1 [/mm] = [mm] (X+1)(X^2+4X+1)\; [/mm] .$$
Für alles anderen [mm] $a\in\mathbb{Z}$ [/mm] ist [mm] $X^3+5X^2+aX+1$ [/mm] irreduzibel in [mm] $\mathbb{Q}$.
[/mm]
iii) lässt sich sofort erledigen, durch Zerlegung in ein Produkt zweier quadratischer Polynome - such mal!
Schließlich iv): Abspaltbare Linearfaktoren gibt es nach kurzer Überprüfung nicht, das müssten nämlich [mm] $X\pm [/mm] 1$ sein, was hier nicht klappt. Irreduzibilität ist demnach allenfalls als Zerlegung in ein Produkt zweier quadratischer Polynome denkbar:
[mm] $X^4+X^3+X^2+X+1 [/mm] = [mm] (X^2+aX+1)(X^2+bX+1)$ [/mm] oder [mm] $X^4+X^3+X^2+X+1 [/mm] = [mm] (X^2+cX-1)(X^2+dX-1)$
[/mm]
Im ersten Fall hat man $a+b=1$ und $ab+2=1$ zu erfüllen, was in rationalen Zahlen $a,b$ nicht möglich ist. Im zweiten Fall ist der Widerspruch noch offensichtlicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mi 06.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ii) als Polynom dritten Grades ist nur dann reduzibel, wenn
Das Polynom muss schon normiert sein und ganzzahlige Koeffizienten haben :) Aber das ist hier ja erfuellt...
> eine ganzzahlige Wurzel existiert. Diese muss ein Teiler
> des Absolutgliedes 1 sein, kann also nur +1 oder -1 sein.
> [...]
>
> Schließlich iv): [...]
Man kann hier auch anders vorgehen: und zwar ist [mm] $(X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1) (X - 1) = [mm] X^5 [/mm] - 1$.
Wenn man jetzt den Ringautomorphismus [mm] $\IQ[X] \to \IQ[X]$, [/mm] $f(X) [mm] \mapsto [/mm] f(X + 1)$ anwendet, wird [mm] $x^5 [/mm] - 1$ auf ein durch $x$ teilbares Polynom abgebildet; wenn man dieses durch $x$ teilt, sieht man schnell, dass der Rest irreduzibel ist (mit Eisenstein und $p = 5$). Damit hat das Bild von [mm] $X^5 [/mm] - 1$ zwei Primfaktoren, womit auch [mm] $X^5 [/mm] - 1$ in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] genau zwei Primfaktoren hat -- und da einer schon $X - 1$ ist, muss das Polynom [mm] $X^4 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ somit prim (also irreduzibel) sein.
(Das geht auch ganz allgemein fuer [mm] $X^{p-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + X + 1 [mm] \in \IQ[X]$, [/mm] wenn $P$ eine Primzahl ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 14.06.2007 | | Autor: | biancab |
danke für die klassen antwort...hat mir sehr geholfen....
hääte nur eune frage zu (iii)
wie kann ich dass polynom in das produkt zweier quadratische polynome schreiben ohne die komplexen nustellen zu verwenden
also [mm]x^4+4 = (x^2+2i)*(x^2-2i)[/mm] jetzt bin ich ja noch im komplexen..also keine lösung für [mm]\IQ[/mm]..kann ich mein produkt aus quad. polynomen im komplexen irgendwie umschreiben damit ich mich im ring [mm]\IQ [x][/mm] befinde...für euch sicherlich ne blöde frage..aber ich hab keine ahnung...????? hilfe!!!!
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Ich glaube, das geht (wenn es nur um [mm] \IQ[x] [/mm] geht) einfacher.
(wenn das, was ich schreibe nicht stimmt, hab ich in der VL was falsch verstanden, dann bitte Alarm schreien)
Also: Ein Polynom f(x) [mm] \in [/mm] K[x] hat genau dann ein lineares Polynom [mm] (x-a)\in [/mm] K[x] wenn f(a)=0 gilt. (Also, mal auf deutsch: wenn das Polynom Nullstellen hat)
Du musst also nur noch gucken, ob dein Polynom Nullstellen hat. Für [mm] \IQ[x] [/mm] ist das einfach:
EIn Polynom [mm] f(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] \IQ [/mm] hat die Nullstellen [mm] \bruch{p}{q} [/mm] (p,q [mm] \in \IZ, [/mm] p [mm] \not= [/mm] 0, [mm] q\not=0, [/mm] ggt(p,q)=1) höchtens dann, wenn [mm] p|a_{n}
[/mm]
[mm] q|a_{0}
[/mm]
In deinem Beispiel [mm] x^4+4 [/mm] ist [mm] q=\pm1; [/mm] p= [mm] \pm1;\pm2;\pm4
[/mm]
Als Nullstellen kommen also höchtens in Frage: (-1); 1;(-2); 2; (-4); 4
Die kannst du für x einsetzen und überprüfen ob 0 herauskommt. Tut es in diesem Fall nicht [mm] \Rightarrow [/mm] die Funktion ist nicht reduzibel in [mm] \IQ
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 So 17.06.2007 | | Autor: | biancab |
die möglichkeit nach nullstellen zu suchen...geht nicht nach einem satz in der VO darf ich dieses system nur bis zum 3 grad eines polynoms durchführen....für den 4 grad muß ich mir was anderes einfallen lassen......schade...
denn mit den nullstellen wäre ja dieses polynom in Q irreduzibel weil es ja komplexe nullstellen wären....ich weiß nicht kann man diese komplexen nullstellen irgendwie umformen..multiplizieren oder so..um zu einer quadratischen zerlegung des ausgangspolynom zu kommen?? hilfe????
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versteh ich nicht. Nachdem was man mir in der VL erzählt hat (s.o.) geht das in jeden Körper K[x] für jedes Polynom [mm] a_{0}x^n+....
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 19.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi1
> versteh ich nicht. Nachdem was man mir in der VL erzählt
> hat (s.o.) geht das in jeden Körper K[x] für jedes Polynom
> [mm]a_{0}x^n+....[/mm]
Die Nullstellen eines Polynoms hängen mit den lineaaren Faktoren (Faktoren vom Grad 1) zusammen. Ein Polynom vom Grad [mm] \ge [/mm] 4 kann aber reduzibel sein, ohne einen linearen Faktor zu enthalten, z. B. eben [mm] (X^{2} [/mm] + [mm] 1)*(X^{2} [/mm] + 1) über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ.
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Di 19.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen biancab! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> danke für die klassen antwort...hat mir sehr geholfen....
> hääte nur eune frage zu (iii)
>
> wie kann ich dass polynom in das produkt zweier
> quadratische polynome schreiben ohne die komplexen
> nullstellen zu verwenden
>
> also [mm]x^4+4 = (x^2+2i)*(x^2-2i)[/mm] jetzt bin ich ja noch im
> komplexen..also keine lösung für [mm]\IQ[/mm]..kann ich mein produkt
> aus quad. polynomen im komplexen irgendwie umschreiben
> damit ich mich im ring [mm]\IQ [x][/mm] befinde
Es ist doch weiter im Komplexen
[mm] (x^2+2i)*(x^2-2i) [/mm] = (x + [mm] \wurzel{-2i})*(x [/mm] - [mm] \wurzel{-2i})*(x [/mm] + [mm] \wurzel{2i})*(x [/mm] - [mm] \wurzel{2i}) [/mm] =
(x + [mm] \wurzel{-2i})*(x [/mm] - [mm] \wurzel{2i})*(x [/mm] - [mm] \wurzel{-2i})*(x [/mm] + [mm] \wurzel{2i}) [/mm] = ?
Jetzt multiplizier mal die beiden ersten Faktoren und die beiden letzten, das isses hoffentlich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi zusammen!
Mir hat das studieren dieses Artikels hier sehr viel gebracht, nur habe ich noch eine kleine Frage:
Wenn ich ein polynom 4.Grades habe, welches nicht normiert ist, wie kann ich dann vorgehen?
Soll ich es normieren? dann hat es jedoch keine ganzzahligen Koeffizienten mehr.. Oder kann ich gleich daraus schiessen, dass es irreduziebel ist? das wäre nämlich mein Ziel =)
Vielen lieben Dank!
Ersti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Ersti,
> Wenn ich ein polynom 4.Grades habe, welches nicht normiert
> ist, wie kann ich dann vorgehen?
Die Frage ist leider nicht ganz einfach.
> Soll ich es normieren? dann hat es jedoch keine
> ganzzahligen Koeffizienten mehr.. Oder kann ich gleich
> daraus schiessen, dass es irreduziebel ist?
Wenn du von "irreduzibel" sprichst, dann füge bitte stets hinzu, über welchem Körper dein Polynomring definiert ist.
Das macht nämlich einen wesentlichen Unterschied:
Über [mm] $\IC$ [/mm] zerfallen zB alle Polynome in Linearfaktoren,
über [mm] $\IR$ [/mm] gibt es keine irreduziblen Polynome vom Grad größer 2
über [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es irreduzible Polynome beliebig hohen Grades.
Es existieren verschiedene Kriterien, zB das genannte von Eisenstein.
Eine "Brute-Force-Methode" würde darin bestehen, ein Polynom 4. Grades zunächst über [mm] $\IC$
[/mm]
in seine Linearfaktoren zu zerlegen.
Dazu gibt es eine Lösungsformel, die auf der von Cardano aufbaut. Dann solltest du versuchen, die Linearfaktoren wieder so zusammenzusetzen, daß sich Polynome über [mm] $\IQ$ [/mm] ergeben. Das erfordert etwas Probieren, aber man sieht recht schnell, ob es geht oder nicht.
Gruß
Will
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Hi..
Vielen lieben Dank fürdie promte Antwort.. Ich dachte schon, dass es da keine universal Lösung gibt, aber hoffen ist ja erlaubt =)
Also das Eisenstensche Kriterium hatten wir auch schon, deshalb wollte ich es auch so probieren, aber da ich alles Primzahlen als Koeffizienten habe fällt das wohl weg..
Der zweite Vorschlag, den du machst ist völlig neu für mich.. Also ich soll das Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerlegen? da klammere ich zuerst den Koeffizienten vor der grössten Potenz aus und dann suche ich durch probieren die erste Nullstelle? So habe ich das bis jetzt immer gemacht.Danach Polynomdivision, nicht?
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> mich.. Also ich soll das Polynom über [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren
> zerlegen? da klammere ich zuerst den Koeffizienten vor der
> grössten Potenz aus und dann suche ich durch probieren die
> erste Nullstelle? So habe ich das bis jetzt immer
> gemacht.Danach Polynomdivision, nicht?
nun ja, wenn das so einfach geht, dann hast du Glück.
Aber immer wird das nicht funktionieren, zumal du irrationale, geschweige denn komplexe Lösungen wohl kaum erraten wirst.
Schau mal im Web unter "Cardanische Formel". Dort findest du idR auch die Lösungsformeln für Polynome 4. Grades.
Schau dir dazu auch nochmal Dieters Mitteilung an (statler). Das ist im Prinzip, was ich geschrieben habe.
Gruß
Will
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Hi..
ich habe mir die Formel angeschaut, nur ist die ziemlich kompliziert, nicht?
Ich werde es auf jeden fall mal versuchen, hatte abe rin der Zwischenzeit noch einen kleinen Geistesblitz.. =)
Das Polynom hat keine Nullstelle, also kann es nur in 2 Polynome 2.Grades zerfallen: ich kann also eine Lösung der Form [mm] (ax^{2}+bx+c)(a'x^{2}+b'x+c') [/mm] suchen und dies nun durch Koeffizientenvergleich zu einem Widerspruch bringen, oder?
lg ersti
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ok, ich habe es gepackt.. *hehe*
Ging mit dem Koeffizientenvergleich schlussendlich doch noch und habe meinen gewünschten Widerspruch!
Vielen lieben Dank für die hilfreichen Tipps, weiss manchmal wirklich nicht, wie ich die Motivation behalten würde ohne solche Hilfestellungen, wie ich sie hier erhalten!
Einen schönen Abend, der Ersti..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich habe mir die Formel angeschaut, nur ist die ziemlich
> kompliziert, nicht?
yes.
> Ich werde es auf jeden fall mal versuchen, hatte abe rin
> der Zwischenzeit noch einen kleinen Geistesblitz.. =)
> Das Polynom hat keine Nullstelle,
du meinst wahrscheinlich "keine reelle Nullstelle".
Denn jedes Polynom n-ten Grades hat genau n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Nullstellen.
> also kann es nur in 2
> Polynome 2.Grades zerfallen: ich kann also eine Lösung der
> Form [mm](ax^{2}+bx+c)(a'x^{2}+b'x+c')[/mm] suchen und dies nun
> durch Koeffizientenvergleich zu einem Widerspruch bringen,
mir ist zwar noch nicht ganz klar, wie du das technisch anstellen willst,
aber halt mich mal auf dem laufenden 
Gruß
Will
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