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| Aufgabe | Sei R kommutativer Ring, A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b\\ 0 & 1 & c} [/mm] R^3x3.
Zeigen Sie, dass es ein Polynom 3. Grades p R[X] gibt, für das gilt: p(A) = 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich habe bei der Aufgabe folgendes Problem:
Wenn ich [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^3 [/mm] ausrechne krieg ich ja relativ lange Matrizen:
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & a & ac \\ 0 & b & a+bc\\ 1 & c & 1+c^2} [/mm] sowie
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ a & ac & a+ac² \\ b & a+bc & ac + bc²\\ c & b + c² & a +bc + c + c³}
[/mm]
Wenn ich das in ein beliebiges Polynom 3. Grades einsetze, z.b.
[mm] pX^3 [/mm] + [mm] qX^2 [/mm] + rX + s = 0
komme ich durch Ausrechnen irgendwie auf keinen grünen Zweig. :/
Hat jemand vielleicht nen Tipp wie man sowas angeht?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 11.12.2006 | | Autor: | moudi |
> Sei R kommutativer Ring, A = [mm]\pmat{ 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b\\ 0 & 1 & c}[/mm]
> R^3x3.
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> Zeigen Sie, dass es ein Polynom 3. Grades p R[X] gibt,
> für das gilt: p(A) = 0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ===
>
> Hallo,
Hallo Sandra
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> ich habe bei der Aufgabe folgendes Problem:
> Wenn ich [mm]A^2[/mm] und [mm]A^3[/mm] ausrechne krieg ich ja relativ lange
> Matrizen:
> [mm]A^2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & a & ac \\ 0 & b & a+bc\\ 1 & c & 1+c^2}[/mm]
> sowie
> [mm]A^3[/mm] = [mm]\pmat{ a & ac & a+ac² \\ b & a+bc & ac + bc²\\ c & b + c² & a +bc + c + c³}[/mm]
>
> Wenn ich das in ein beliebiges Polynom 3. Grades einsetze,
> z.b.
> [mm]\red{pX^3+ qX^2+ rX + s = 0}[/mm]
Hier muss es [mm] $pX^3+ qX^2+ [/mm] rX + s [mm] X^0= [/mm] 0$ heissen, wobei [mm] $X^0$ [/mm] die Einheitsmatrix ist. Jetzt musst du nur auf die erste Spalte schauen.
mfG Moudi
PS Lösung [mm] $X^3-cX^2-bX-aX^0$
[/mm]
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> komme ich durch Ausrechnen irgendwie auf keinen grünen
> Zweig. :/
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> Hat jemand vielleicht nen Tipp wie man sowas angeht?
>
>Danke im Voraus.
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