Polynom und Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 02.06.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | Betrachte f = [mm] X^6-7x^4+3x^2+3 [/mm] in
a) [mm] \IQ[X] [/mm]
b) [mm] \IF_{13}[X]
[/mm]
bestimme die irreduziblen Faktoren und einen Zerfällungskörper von f über dem Körper. |
a) Das Polynom hat die Nullstellen [mm] $\pm [/mm] 1$, [mm] $\pm \wurzel{3+2\wurzel{3}}$, $\pm i*\wurzel{3+2\wurzel{3}}$ [/mm] und somit hat es folgende irr. Faktoren$ f = [mm] (X-1)(X+1)(X-\wurzel{3+2\wurzel{3}})(X+\wurzel{3+2\wurzel{3}})(X-i*\wurzel{3+2\wurzel{3}})(X+i*\wurzel{3+2\wurzel{3}})$. [/mm] Ein Erweiterungskörper wäre dann also [mm] $\IQ(1, [/mm] i, [mm] \wurzel{3+2\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \IQ(i, \wurzel{3+2\wurzel{3}})$.
[/mm]
b) Das Polynom zerfällt in die Faktoren [mm] (X-1)(X+1)(X^4-6X^2-3). [/mm] Dabei fällt mir aber auf, dass f in [mm] \IF_{13} [/mm] = [mm] X^6+6X^4+3X^2+3 [/mm] laut Eisenstein irreduzibel ist, denn [mm] \IF_{13} [/mm] ist ja faktoriell, p = 3 eine Primzahl und es teilt alles bis auf den Leitkoeffizienten und es gilt auch nicht [mm] p^2 [/mm] = 3. Somit ist das ganze irreduzibel alle Nullstellen in [mm] \IF_{13} [/mm] und somit schon der Zerfällungskörper.
Ist die Lösung so korrekt oder fehlt was bzw. unsauber? Danke für eine Antwort und beste Grüße^^
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moin,
Die a) sieht soweit gut aus, es fehlen aber noch die irreduziblen Faktoren (über [mm] $\IQ$), [/mm] die du ja scheinbar bestimmen sollst.
Bei der b) hast du aber einen Denkfehler drinn.
Die $3$ ist eine Primzahl, ja, aber in [mm] $\IZ$.
[/mm]
Betrachtest du $3 [mm] \in \IF_{13}$ [/mm] so ist $3$ hier eine Einheit und damit nicht prim.
Da [mm] $\IF_{13}$ [/mm] insbesondere ein Körper ist kannst du Eisenstein hier vergessen.
Und [mm] $x^4-6x^2-1$ [/mm] ist zwar über [mm] $\IF_{13}$ [/mm] reduzibel (du bist also mit dem Bestimmen der irreduziblen Faktoren hier noch nicht fertig), zerfällt aber nicht in Linearfaktoren, womit [mm] $\IF_{13}$ [/mm] noch nicht der gesuchte Zerfällungskörper ist.
lg
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Sa 02.06.2012 | | Autor: | shadee |
Danke für die schnelle Antwort. Die Begründung für b kann ich dann aber auf a anwenden? Denn [mm] f=(X-1)(X+1)(X^4-6X^2-3) [/mm] ist ein Polynom über [mm] \IQ [/mm] und auch irreduzibel darüber, diesmal laut Eisenstein aber^^
bei b) lass ich mir noch was einfallen und melde mich dann nochmal. Bei mir hat es auch entgültig mal klick gemacht bezüglich der Zerfällungskörper. Ich dachte das Polynom muss irgendwie zerfallen, aber es muss in Linearfaktioren also Faktoren der Form (X+a) zerfallen. Das hab ich jez erst gerafft. Vielen Dank dafür, allein das hat mich schon mal einen enormen Schritt nach vorne gebracht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 02.06.2012 | | Autor: | shadee |
b) [mm] X^4-6X^2-3 [/mm] = [mm] X^4+7X^2+10 [/mm] in [mm] \IF_{13} [/mm] und das zerfällt da in [mm] X^2+2 [/mm] und [mm] X^2+5. [/mm] Aber das ist dann irreduzibel in [mm] \IF_{13}, [/mm] da es keine Nullstelle hat. Die Nullstellen davon wären jeweils [mm] $\pm i\wurzel{2}$, $\pm i\wurzel{5}$. [/mm] Somit ist ein Erweiterungskörper L = [mm] \IF_{13}(i, \wurzel{2}, \wurzel{5}).
[/mm]
Wenn das stimmt, dann hab ichs entgültig verstanden und bin dir (auch so schon) zu großem Dank verpflichtet!
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> b) [mm]X^4-6X^2-3[/mm] = [mm]X^4+7X^2+10[/mm] in [mm]\IF_{13}[/mm] und das zerfällt
> da in [mm]X^2+2[/mm] und [mm]X^2+5.[/mm] Aber das ist dann irreduzibel in
> [mm]\IF_{13},[/mm] da es keine Nullstelle hat. Die Nullstellen davon
> wären jeweils [mm]\pm i\wurzel{2}[/mm], [mm]\pm i\wurzel{5}[/mm]. Somit ist
> ein Erweiterungskörper L = [mm]\IF_{13}(i, \wurzel{2}, \wurzel{5}).[/mm]
>
> Wenn das stimmt, dann hab ichs entgültig verstanden und
> bin dir (auch so schon) zu großem Dank verpflichtet!
Hmm, ja, das Polynom zerfällt über diesem Körper.
Allerdings nehme ich einfach mal an, dass es einen kleineren (bezüglich Dimension als [mm] $\IF_{13}$ [/mm] Vektorraum) gibt.
Und [mm] $\underline{\text{der}}$ [/mm] Zerfällungskörper soll normalerweise der von kleinster Dimension sein.
Da in der Aufgabe nur von "einem" Zerfällungskörper die Rede ist könnte das so passen, aber du kannst hier sicher auch einen schöneren finden.
So brauchst du etwa das $i$ gar nicht, es würde schon [mm] $\IF_{13}(\sqrt{-2},\sqrt{-5}) [/mm] = [mm] \IF_{13}(\sqrt{8},\sqrt{-2})$ [/mm] reichen.
Da [mm] $\sqrt{8} [/mm] = [mm] 2*\sqrt{2}$ [/mm] könntest du also auch [mm] $\IF_{13}(\sqrt{2},\sqrt{-2})$ [/mm] nehmen.
Und vielleicht kriegst du den auch hin, indem du nur ein einziges Element adjungierst?
Ist etwa [mm] $\sqrt{-2} \in \IF_{13}(\sqrt{2})$?
[/mm]
Wiegesagt, "einen" Zerfällungskörper hast du, aber "der" Zerfällungskörper ist normalerweise der kleinste, also kannst du hier ruhig noch ein wenig weitersuchen; und sei es nur, damit du einen schöneren Körper hast, mit dem du ggf. danach noch arbeiten musst.
lg
Schadowmaster
PS:
Es ist [mm] $5^2 [/mm] = 25 [mm] \equiv [/mm] -1$ (mod 13), also ist bereits $i [mm] \in \IF_{13}$, [/mm] was dir eine ganze Menge bringt, damit kannst du es auf [mm] $\IF_{13}(\alpha)$ [/mm] für ein einziges [mm] $\alpha$ [/mm] bringen (welches darfst du dir überlegen ;) ).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 03.06.2012 | | Autor: | shadee |
Ich rbauch nochmal Hilfe. Und zwar komme ich nicht drauf, warum [mm] \IF_{13}(\sqrt{-2},\sqrt{-5}) [/mm] = [mm] \IF_{13}(i,\sqrt{2},\sqrt{5}). [/mm] Ich weiß zwar wie ich auf $i$ komme, aber ich find grade keinen Weg, wie ich mit [mm] \sqrt{-2},\sqrt{-5} [/mm] auf [mm] \sqrt{2} [/mm] oder [mm] \sqrt{5} [/mm] komme. Hat jemand n kleinen Tipp parat?
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> Ich rbauch nochmal Hilfe. Und zwar komme ich nicht drauf,
> warum [mm]\IF_{13}(\sqrt{-2},\sqrt{-5})[/mm] =
> [mm]\IF_{13}(i,\sqrt{2},\sqrt{5}).[/mm] Ich weiß zwar wie ich auf [mm]i[/mm]
> komme, aber ich find grade keinen Weg, wie ich mit
> [mm]\sqrt{-2},\sqrt{-5}[/mm] auf [mm]\sqrt{2}[/mm] oder [mm]\sqrt{5}[/mm] komme. Hat
> jemand n kleinen Tipp parat?
Es gilt wie bereits gesagt $5 = i [mm] \in \IF_{13}$, [/mm] wenn man $i$ definiert mit $i := [mm] \sqrt{-1}$.
[/mm]
Damit ist [mm] $i*\sqrt{-2} [/mm] = [mm] \sqrt{2} \in \IF_{13}(\sqrt{-2},\sqrt{-5})$ [/mm] und genauso kommst du auch an [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] drann.
lg
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 So 03.06.2012 | | Autor: | shadee |
Oha! Das hab ich wohl komplett übersehen. Typisch Fall von man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht^^ Dann ist die Sache klar. Vielen Dank dir ;)
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