Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 29.10.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IR[x].
[/mm]
Bestimmen Sie alle Polynome p mit [mm] x_2+1|p [/mm] und [mm] x_3+x_2+1|p [/mm] ! |
Guten Tag,
ich habe nicht den Ansatz einer Idee, weil wir etwas Ähnliches bisher nicht in der Vorlesung hatten.
Könnte mir jemand einen Tipp/Link geben, worauf es hier ankommt?
Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p [mm]\in \IR[x].[/mm]
> Bestimmen Sie alle Polynome p mit
> [mm]x_2+1|p[/mm] und [mm]x_3+x_2+1|p[/mm] !
> Guten Tag,
> ich habe nicht den Ansatz einer Idee, weil wir etwas
> Ähnliches bisher nicht in der Vorlesung hatten.
> Könnte mir jemand einen Tipp/Link geben, worauf es hier
> ankommt?
Also [mm] $\IR[x]$ [/mm] ist ein Hauptidealbereich und damit faktoriell. Folglich haben die Elemente [mm] $x^2 [/mm] + 1$ und [mm] $x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1$ ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Und jetzt schau dir nochmal die definierende Eigenschaft eines kleinsten gemeinsamen Vielfachen an 
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Sei [mm]p \in \IR[x].[/mm]
Bestimmen Sie alle Polynome $p$ mit
[mm]x^2+1|p[/mm] und [mm]x^3+x^2+1|p[/mm] !
|
Hallo slash,
ich bin fast sicher, daß die Aufgabe *so* lauten sollte. Und ein Polynom mit den verlangten Eigenschaften muß notwendigerweise auch durch [mm] $\operatorname{KGV}(x^2 [/mm] +1, [mm] x^3 +x^2 [/mm] +1)$ teilbar sein...
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 31.10.2006 | | Autor: | slash |
Da [mm] \IR [/mm] ein ZPe-Ring ist, so ist auch [mm] \IR[x] [/mm] ein ZPE-Ring, sodass eine eindeutige Zerlegung von Polynomen in irreduzible Faktoren exisitiert.
Durch "scharfes Hinsehen" erkenne ich, dass beide Polynome irreduzibel sind.
Daher ist ihr kgV [mm] (x^2 +1)(x^3+x^2+1).
[/mm]
Richtig?
Wie kann ich die Irreduzibilität dieser Polynomen begründen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Jake!
> Da [mm]\IR[/mm] ein ZPe-Ring ist, so ist auch [mm]\IR[x][/mm] ein ZPE-Ring,
> sodass eine eindeutige Zerlegung von Polynomen in
> irreduzible Faktoren exisitiert.
>
> Durch "scharfes Hinsehen" erkenne ich, dass beide Polynome
> irreduzibel sind.
Polynome 3. Grades sind über [mm] \IR [/mm] nie irreduzibel, wie man seit Gauss weiß. Anschaulich auch klar: Das Ding hat eine Nullstelle, also einen linearen Faktor.
> Daher ist ihr kgV [mm](x^2 +1)(x^3+x^2+1).[/mm]
Das scheint trotzdem richtig zu sein, weil der 1. Faktor kein Teiler des 2. ist.
> Wie kann ich die Irreduzibilität dieser Polynome
> begründen?
Gar nicht, s. o.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
