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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Polynome
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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Do 30.08.2007
Autor: torstenkrause

Aufgabe
Zerlegen Sie [mm] f(x)=x^{5}+1 [/mm] so weit wie möglich in ein Produkt reeler Polynome.

Guten Morgen,
Wenn ich das berechne kommen ziemlich komplizierte Terme raus.
Aber der Prof. von dem die Klausuraufgabe stammt, macht sowas eigentlich nicht.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke im Vorraus.


        
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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Do 30.08.2007
Autor: Leopold_Gast

Offensichtlich ist ja -1 eine Nullstelle, also kann der Linearfaktor [mm]x+1[/mm] abgespalten werden. Das verbleibende biquadratische Polynom kann in zwei quadratische Polynome zerlegt werden. Mache den Ansatz [mm](x^2 + ax + 1) \cdot (x^2 + bx + 1)[/mm] und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

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Polynome: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:25 Fr 31.08.2007
Autor: torstenkrause

Also ich hatte mal als ersten von 5 Zeigern

[mm] z_1=\bruch{{\wurzel{5}+1}}{4}+j\bruch{\wurzel{\wurzel{5}-5}}{4} [/mm]

Kann das jemand bestätigen?

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Fr 31.08.2007
Autor: angela.h.b.


> Also ich hatte mal als ersten von 5 Zeigern
>
> [mm]z_1=\bruch{{\wurzel{5}+1}}{4}+j\bruch{\wurzel{\wurzel{5}-5}}{4}[/mm]
>  
> Kann das jemand bestätigen?

Hallo,

Du sollst das Polynom doch soweit wie möglich in reelle Polynome zerlegen.

Hast Du Leopold_Gasts Hinweis umgesetzt, (x+1) abgespalten und das verbliebene Polynom in zwei quadratische zerlegt?

Gruß v. Angela

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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:42 Mo 03.09.2007
Autor: torstenkrause

Also ich bin da irgendwie zu dumm für. Wenn ich das abspalte bleibt [mm] x^{4}-\bruch{3}{x+1} [/mm] stehen. Und wie soll ich das weiter aufspalten?

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:48 Mo 03.09.2007
Autor: leduart

Hallo thorsten
Kannst du keine Plynomdivision? Dann seh in der Mathebank nach und lerns!
Wenn du schriftlich 121224:12 rechnest, sagst du doch auch nicht
das hilft nix das ist 10000+1224/12 !
Gruss leduart


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:24 Mo 03.09.2007
Autor: torstenkrause

Habe nochmal nachgerechnet
[mm] \bruch{x^{5}+1}{x+1}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 [/mm]

Allerdings hatten wir in ähnlichen Aufgaben so gerechnet wie ich oben. Da haben sich später die Imaginärteile irgendwie verabschiedet.
Lasse mich aber gerne eines besseren belehren. :-)
  

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Polynome: Leopold's Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Mo 03.09.2007
Autor: Loddar

Guten Morgen Torsten!


> Habe nochmal nachgerechnet [mm]\bruch{x^{5}+1}{x+1}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1[/mm]

[ok] Richtig!


Und um das Polynom [mm] $x^4-x^3+x^2-x+1$ [/mm] weiter zu zerlegen, solltest Du nun Leopold's Tipp umsetzen ...


Gruß
Loddar


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Do 06.09.2007
Autor: torstenkrause

Also ich habe das ( wie in der Vorlesung auch) mit den komplexen Zeigern weitergerechnet und kam dann auf
[mm] x^{5}+1=(x+1)(x+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1) [/mm]
Ist das richtig?
Meint ihr euer Weg ist einfacher?


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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Do 06.09.2007
Autor: angela.h.b.


> Also ich habe das ( wie in der Vorlesung auch) mit den
> komplexen Zeigern weitergerechnet und kam dann auf
> [mm]x^{5}+1=(x+1)(x+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1)[/mm]
>  Ist das richtig?

Hallo,

das kannst Du selbst durch Ausmultiplizieren herausfinden.

Es muß ja [mm] (x^2+1,618x+1)(x^{2}-0,618x+1) [/mm] dasselbe sein wie [mm] x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 [/mm] ,

und das ist nicht der Fall, wenn ich mir den Faktor vor [mm] x^3 [/mm] anschaue.

>  Meint ihr euer Weg ist einfacher?

Einfach kommt einem meist das vor, was man gut kann. Was einfacher ist, solltest Du im Vergleich entscheiden.
Für mich wäre Leopold_Gasts Weg einfacher, schon deshalb, weil ich äußerst ungern mit komplexen zahlen herumwurschtele.

Gruß v. Angela

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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Do 06.09.2007
Autor: torstenkrause

Ich zweifel langsam an meinen Mathekenntnissen.
[mm] (x²+ax+1)(x²+bx+1)=x^{4}+bx³+x²+ax³+abx²+ax+x²+bx+1 [/mm]

Jetzt den Koeff.vergleich:
-1=b+a
1=a*b
-1=a+b


==> keine Lösung???????????
Danke

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Do 06.09.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Ich zweifel langsam an meinen Mathekenntnissen.
>  [mm](x²+ax+1)(x²+bx+1)=x^{4}+bx³+x²+ax³+abx²+ax+x²+bx+1[/mm]
>  
> Jetzt den Koeff.vergleich:
>  -1=b+a
>  1=a*b

Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist [mm]a*b=-1[/mm].

Grüße
  Rainer

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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause


>  >  
> > Jetzt den Koeff.vergleich:
>  >  -1=b+a
>  >  1=a*b
>  
> Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist
> [mm]a*b=-1[/mm].
>  
> Grüße
>    Rainer


Genau das ist ja das Prob!!!!!!!!!!!!
Die beiden Gleichungen kann man nicht auflösen, ohne das die Lösung komplex wird.

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mo 10.09.2007
Autor: rainerS

Hallo

> > > Jetzt den Koeff.vergleich:
>  >  >  -1=b+a
>  >  >  1=a*b
>  >  
> > Da hast du dich verrechnet: bei [mm]x^2[/mm] steht [mm]2+a*b[/mm], also ist
> > [mm]a*b=-1[/mm].
>  >  
> > Grüße
>  >    Rainer
>
>
> Genau das ist ja das Prob!!!!!!!!!!!!
>  Die beiden Gleichungen kann man nicht auflösen, ohne das
> die Lösung komplex wird.

Das ist nicht richtig. Das Gleichungssystem
[mm]a*b=-1[/mm]
[mm]a+b=-1[/mm]
hat nur reelle Lösungen.

Grüße
   Rainer


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

ich finde keine Lösung

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Polynome: quadratische Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Mo 10.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Torsten!


Durch Umformen zu $b \ = \ [mm] -\bruch{1}{a}$ [/mm] sowie Einsetzen in $a+b \ = \ -1$ erhalte ich:

[mm] $$a-\bruch{1}{a} [/mm] \ = \ -1$$
Nun mit $a_$ multiplizieren und die entstehende quadratische Gleichung lösen ...


Gruß
Loddar


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Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

Habe ich schon gemacht:

Aus [mm] a-\bruch{1}{a} [/mm] \ = \ -1 fogt a²+a-1=0

Dann habe ich [mm] a=-\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm]
oder [mm] a=-\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm]



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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

Aber welches nehme ich zum weiterrechnen?

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Polynome: b berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 10.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Torsten!


Berechne doch mal jeweils die zugehörigen Werte für $b \ = \ [mm] -\bruch{1}{a}$ [/mm] .

Was fällt auf?


Gruß
Loddar


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

b= [mm] \bruch{2}{1+\wurzel{5}} [/mm] = 0,618 0der
b= [mm] \bruch{2}{1-\wurzel{5}} [/mm] = -1,618

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Polynome: eventuell gleich?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 10.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Torsten!


Mache diese Brüche doch mal rational durch entsprechendes Erweitern mit [mm] $1\pm\wurzel{5}$ [/mm] .

Oder berechne die Zahlenwerte von den beiden $a_$'s ... was fällt Dir auf?


Gruß
Loddar


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

ja mein Gott wie kann man nur so auf der Leitung stehen.
Also muss ich nur noch einsetzen?
[mm] (x²-\bruch{1+{\wurzel{5}}}{2}+1)*(x+1)*(x²-\bruch{1-{\wurzel{5}}}{2}+1) [/mm]

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Polynome: fast ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Mo 10.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Torsten!


Da fehlen jetzt nur noch die zwei $x_$-Terme:

[mm] $$x^5+1 [/mm] \ = \ [mm] (x+1)*\left(x^2-\bruch{1+{\wurzel{5}}}{2}*\red{x}+1\right)*\left(x^2-\bruch{1-{\wurzel{5}}}{2}*\red{x}+1\right)$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

Vielen Dank. Ich rechne gleich die anderen Aufgaben in der Hoffnug das ich die alleine oder fast alleine schaffe.
Gruß
Torsten

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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

Habe das Ergebnis zwar nochnicht durch ausmultipliziern kontrolliert, bin aber für die Hilfe dankbar. Nur was mich immer noch nicht so ganz zufriedenstellt, ist die tatsache, das die Übungsaufgabe aus dem Teilbereich komplexe Mathematik kommt, und das wir ein ganz ähnliches beispiel mit Zeigern gelöst haben. Gibt es da auch noch ne Möglichkeit?


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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 10.09.2007
Autor: leduart

Hallo
Du brauchst doch nur die Nullstellen von [mm] x^5+1=0 [/mm] also die 5 verschiedenen 5-ten Wurzeln aus -1.
die liegen auf dem Einheitskreis und wenn du -1 als Pfeil zeichnestalso in 180° Richtung, sind die 5 Wurzeln dann bei  [mm] x_i=(180+i*360)/5 [/mm] i=0 bis 4
Dann bist du sofort fertig:
[mm] x^5+1=\produkt_{i=0}^{4}(x-x_i) [/mm]
Dann nimmst du davon die reellen und bist fertig. und hast  auch gleich noch die komplexe Zerlegung.
Gruss leduart

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Bezug
Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

So ähnlich hatte ich das ursprünglich auch.
ich hatte:
[mm] z_{1}=1*e^{j36^{o}} [/mm]
[mm] z_{2}=1*e^{j108^{o}} [/mm]
[mm] z_{3}=1*e^{j180^{o}} [/mm]
[mm] z_{4}=1*e^{j252^{o}} [/mm]
[mm] z_{5}=1*e^{j324^{o}}. [/mm]
Allerdings komme ich damit zu einem anderen Ergebnis.
Ist der Ansatz richtig?

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Bezug
Polynome: berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Mo 10.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Torsten!


Der Ansatz ist schon richtig ... und nun die enstsprechenden Werte in Koordinatenform berechnen. Was erhältst Du dann?


Gruß
Loddar


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Bezug
Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Mo 10.09.2007
Autor: torstenkrause

Verrechnet. Komme doch auf das selbe Ergebnis!!!!!!!!!!!!

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