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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Do 03.09.2009 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Ein Bäcker verkauft drei Sorten Schnecken - Zuckerschnecken, Mohnschnecken und Streuselschnecken. Wie viele Möglichkeiten gibt es zwölf Schnecken zu kaufen, wenn Sie mindestens zwei von jeder Sorte mitbringen sollen, aber nicht mehr als drei Mohnschnecken? Drücken Sie die Antwort als Koeffizienten einer geeigneten Potenz von x in einem Produkt von Polynomen aus. |
Mein Lösungsweg:
Drei versch. Schnecken ohne Einschränkungen zu verkaufen:
[mm] 3^{12} \hat= x^{12}
[/mm]
[mm] i_{1} [/mm] = [mm] \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
[/mm]
[mm] i_{2} [/mm] = [mm] \{2, 3\}
[/mm]
[mm] i_{3} [/mm] = [mm] \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
[/mm]
[mm] (\summe_{i_{1}} x^{i_{1}}) [/mm] * [mm] (\summe_{i_{2}} x^{i_{2}}) [/mm] * [mm] (\summe_{i_{3}} x^{i_{3}})
[/mm]
Die Anzahl der Produkte bei denen [mm] i_{1} [/mm] + [mm] i_{2} [/mm] + [mm] i_{3} [/mm] = 12 ergibt ist die Anzahl der Möglichkeiten mit denen man drei Schnecken kaufen kann.
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> Ein Bäcker verkauft drei Sorten Schnecken -
> Zuckerschnecken, Mohnschnecken und Streuselschnecken. Wie
> viele Möglichkeiten gibt es zwölf Schnecken zu kaufen,
> wenn Sie mindestens zwei von jeder Sorte mitbringen sollen,
> aber nicht mehr als drei Mohnschnecken? Drücken Sie die
> Antwort als Koeffizienten einer geeigneten Potenz von x in
> einem Produkt von Polynomen aus.
> Mein Lösungsweg:
>
> Drei versch. Schnecken ohne Einschränkungen zu verkaufen:
> [mm]3^{12} \hat= x^{12}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
(sowas entspräche einer ziemlich anderen Kombinatorikaufgabe ...)
> [mm]i_{1}=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/mm]
> [mm]i_{2}=\{2, 3\}[/mm]
> [mm]i_{3}=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/mm]
>
> [mm](\summe_{i_{1}} x^{i_{1}})*(\summe_{i_{2}} x^{i_{2}})*(\summe_{i_{3}} x^{i_{3}})[/mm]
>
> Die Anzahl der Produkte bei denen [mm]i_{1}+i_{2}+i_{3}=12[/mm]
> ergibt ist die Anzahl der Möglichkeiten mit denen man
> drei Schnecken kaufen kann.
drei Schnecken ? ich dachte 12 ...
Hallo hilado,
ich habe zuerst etwas gerätselt, dann mit "normaler"
Kombinatorik eine Lösung gesucht (und gefunden)
und schließlich versucht, den Weg mit den Polynom-
koeffizienten nachzuvollziehen, indem ich die Polynome
halt ausmultiplizierte: etwas mühsam, aber machbar.
Deine Lösung stimmt, aber du solltest sie vielleicht
etwas klarer ausdrücken, etwa so:
Sei $\ p(x)\ =\ [mm] (x^2+x^3)*(x^2+x^3+\,.....\,,+x^8)^2\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=6}^{19}a_k\,x^k$
[/mm]
Dann ist [mm] a_{12} [/mm] die gesuchte Anzahl der Möglichkeiten.
Hast du den Zahlenwert auch wirklich ausgerechnet ?
LG Al-Chw.
Nebenbei: du könntest bei der Eingabe von Formeln
mit viel weniger [ mm ] und [/ mm] auskommen !
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