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| Aufgabe | | Gegeben sei P:= [mm] 2*\IZ[x] [/mm] + [mm] x*\IZ[x] [/mm] ein Ideal von [mm] \IZ[x]. [/mm] Zu zeigen ist, dass P kein Hauptideal ist. |
Anfangen würde ich den Beiweis folgendermaßen.
Per Widerspruchsbeiweis.
Sei P doch ein Hauptideal so , dass [mm] S\in \IZ[X] [/mm] mit P= [mm] S*\IZ [/mm] [x] gilt.
Ich habe die Vermutung, dass es aufgrund des Grades nicht funktioniert, aber wie kann ich dies zum Widerspruch führen.
Für Hinweise wäre ich sehr dankbar.
LG Lucas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 06.05.2015 | | Autor: | statler |
Hi,
in dem betrachteten Ideal liegen z. B. die Polynome 2 und x. Ein Polynom, das erzeugendes Element ist, müßte beide im Ring teilen.
Gruß aus HH
Dieter
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Okay, dankeschön.
Um zu zeigen, dass es kein Polynom gibt, dass beide Polynome teilt, würde ich...
Mein Ansatz:
Dann ex. S,T [mm] \in \IZ[x] [/mm] mit S*P=2 und T*P=x.
Aus der Gradformel könnte man dann ja folgern, dass Grad (P) und Grad (S)= 0 sind.
Aber wie kann ich nun zeigen, dass A = [mm] P*\IZ [/mm] [x] kein Hauptideal ist?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 06.05.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Dann ex. S,T [mm]\in \IZ[x][/mm] mit S*P=2 und T*P=x.
> Aus der Gradformel könnte man dann ja folgern, dass Grad
> (P) und Grad (S)= 0 sind.
Das heißt aber doch, daß S und insbesondere P ganze Zahlen sind, die 2 teilen. Davon gibt es nicht so sehr viele.
Gruß aus HH
Dieter
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Naja ganze Zahle, die 2 teilen wären ja 2, -2 , 1 und -1 , aber ich seh da immer noch nicht dirket einen Widerspruch;)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Do 07.05.2015 | | Autor: | statler |
Teilt 2 denn x?
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Nein x wird weder durch 2 noch durch -2 geteilt werden. Aber 1 und -1 wäre doch ein Teiler von 2 und x. Aber es lässt sich doch jedes Polynom P als P = 1*P und P = (-1)*(-P) schreiben oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Do 07.05.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Nein x wird weder durch 2 noch durch -2 geteilt werden.
> Aber 1 und -1 wäre doch ein Teiler von 2 und x. Aber es
> lässt sich doch jedes Polynom P als P = 1*P und P =
> (-1)*(-P) schreiben oder ?
Das ist korrekt, aber 1 und -1 sind Einheiten und erzeugen als Hauptideal den ganzen Ring. Den willst du aber nicht haben.
Kriegst du jetzt deine Argumentationskette zusammen?
Gruß aus HH
Dieter
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Okay also angenommen A wäre ein Hauptideal und es sei A = P* [mm] \IZ[x] [/mm] dann gilt P*S=2 und P*T=x mit S,T [mm] \in \IZ[x]. [/mm] Da P 2 und x teilen muss und P und S eine ganze Zahl ist , muss P [mm] \in [/mm] {1,-1} sein und dann ? . Das mit der Einheit hab ich nicht so ganz verstanden, da wir das in der Vl nicht hatten. LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 07.05.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
ZZ.: P kein Hauptideal
Indirekt angenommen P ist ein hauptideal: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IZ[X]: [/mm] P=(c)
Da 2,X Polynome in P sind folgt [mm] \exists [/mm] f,g [mm] \in \IZ[X]: [/mm] f*c=2, g*c=X
[mm] \Rightarrow [/mm] c darf nur eine von Null verschiedenen Term haben aus Gradgründen.
Da c|2 [mm] \Rightarrow |c|\le [/mm] 2
Wäre c=0 [mm] \Rightarrow (c)=(0)=\{0\} \not= [/mm] P
Wäre c=2 [mm] \vee [/mm] c=-2 würde dass c|X widersprechen
Nun dein "Problem" |c|=1
(c)=P besteht nur aus solchen Polynomen, deren konstanter Term durch 2 teilbar ist und [mm] 2\not| [/mm] 1 [mm] \wedge 2\not| [/mm] (-1)
Überleg dir kurz warum (c) so auschaut und dann bist du fertig.
LG,
sissi
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Okay dankeschön , das habe ich nicht bedacht, das der konstante Term von c immer durch 2 teilbar ist folgt ja dann aus der Definition von P.
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