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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 09.06.2008 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [tex] C( 0,1 ) [/tex] der [tex] \IR [/tex]-Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall.
Zeigen sie, dass
[tex] := \integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} [/tex]
ein Skalarprodukt definiert.
Finden Sie ferner Polynome [tex] f_{0}(t), f_{1}(t), f_{2}(t) [/tex], derart, dass gilt:
[tex] = \delta _{ij} = \begin{cases} 1, & \mbox{für } i = j \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/tex]. |
Aloha hé,
obige Aufgabe - besser gesagt der zweite Teil - hat mich das ganze Wochenende über wahnsinnig gemacht. Mein Tutor meinte, dass man das einfach so sehen könnte (respektive: "Die Polynome findet ihr ganz einfach!").
Das will ich dem guten Mann sogar glauben, aber ich persönlich stelle mich offenbar zu dämlich an.
Der erste Teil der Aufgabe war nur nochmal das Abklappern der Aspekte "positive Semidefinitheit", "Symmetrie" und "Bilinearität". Das ging bei diesem Beispiel relativ einfach (wobei man da natürlich die Stetigkeit ausnutzen musste).
Ich habe schon versucht mit trigonometrischen Funktionen bzw. Exponentialfunktionen etwas zu tricksen - hat aber leider nicht geklappt.
Nachdem wir heute in der Vorlesung die Eigenschaft 'orthogonal' hinsichtlich des Skalar-Produkts kennengelernt haben, beschleicht mich das Gefühl, dass man damit diese Aufgabe lösen könnte. So wie ich mir das vorstelle, müsste man die Polynome als Vektoren bzgl. einer entsprechenden Basisi (sowas wie [tex] 1,x,x^{2},... [/tex]) darstellen und dann wären zwei nicht identische Vektoren orthogonal und ihr Skalarprodukt demnach 0. Für den Fall [tex] i = j [/tex] wären die Vektoren nicht orthogonal und man müsste entsprechend schauen, wie man ihre Länge skaliert bekommt, damit diese = 1 ist.
Leider haben wir mit dem Skalarprodukt bzw. der Orthogonalität noch nicht wirklich viel gerechnet. Mehr als eine fixe Idee ist es bislang nicht.
Vielleicht "sieht" ja einer von euch, was für Polynome hier gesucht sind. Zwei würden schon reichen, dann lässt sich das dritte bestimmt irgendwie rauskriegen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo den Wald vor Bäumen nicht sieht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 09.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Setze f0(t) = 1 und mache für f1 den Ansatz f1(t) = a+bt.
Dann ist <f0,f0> = 1.
Bestimme a und b so, dass <f0,f1> = 0 und <f1,f1> = 1.
Welchen ansatz mußt Du nun für f2 machen ?
Noch eine Frage: hattet Ihr das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 09.06.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
Vielen Dank für den Tipp. Da mir das genannte Verfahren nicht bekannt war (was nicht heißt, dass es nicht noch auf mich zu kommen kann), bleibt nur dem Ansatz zu folgen und stupide auszurechnen.
Bei dem genannten Ansatz erhalte ich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten bzw. dann bei dem Ansatz mit [tex] f_{2}(t) = a + bt + ct^{2} [/tex] dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Als Ergebnis habe ich dann:
[tex] f_{0}(t) = 1 [/tex]
[tex] f_{1}(t) = \wurzel{3} - 2 \wurzel{3} t [/tex]
und
[tex] f_{2}(t) = \wurzel{\bruch{5}{109}} + 6 \wurzel{\bruch{5}{109}} t - 12 \wurzel{\bruch{5}{109}} t^{2} [/tex]
Laut Einsetzungs-Test sollte das so passen.
Nochmals Danke!
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass das angekündigte Verfahren solcherlei Berechnungen einfacher gestalten wird.
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