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| Aufgabe | | Wieviele Selbstabbildungen von [mm] \IZ/(6) [/mm] gibt es, die Polynomfunktionen sind? |
Ich habe mir mal einige Selbstabbildungen aufgeschrieben zum Beispiel für f(x)=x die Selbstabbildung, wo ja nur für [mm] a_0x^0a_1x^1a_2x^2a_3x^3 [/mm] usw. das [mm] a_1=1 [/mm] wäre und die anderen [mm] a_i [/mm] =0.
Aber da es so viele Selbstabbildungen gibt, muss es doch eine andere Möglichkeit geben, herauszufinden, welche davon als Polynom darstellbar sind, oder??
Ich bin echt am verzweifeln.
Über Vorschläge würde ich mich freuen =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 28.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib dir mal die potenzen der Zahlen 1 bis 6 auf, dann siehst du die Polynome
Gruss leduart
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> Hallo
> schreib dir mal die potenzen der Zahlen 1 bis 6 auf, dann
> siehst du die Polynome
> Gruss leduart
Kannst du mir das noch mal genauer erklären? Also [mm] 1^n [/mm] wird auf jeden Fall immer 1 geben, bei den anderen Zahlen stelle ich jetzt nichts fest, was mir bei der Aufgabe behilflich sein könnte?!
Liebe Grüße
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[mm]\forall x: \ x^3 = x[/mm]
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Stimmt, dumm, dass ich da nicht von alleine drauf gekommen bin...
Das heißt, dass die Polynome [mm] x^3 [/mm] und x den gleichen rest haben, genauso wie dann auch z.B. [mm] x^9. [/mm] Diese Tatsache muss man also beachten, wenn man die generell mögliche Anzahl von polynomfunktionen bildet. Aber schon diese "generelle" Anzahl bereitet mir Probleme. Wenn ich folgendes habe:
$ [mm] a_0x^0a_1x^1a_2x^2a_3x^3...a_nx^n [/mm] $ dann hab ich für jedes [mm] a_i [/mm] ja 6 Möglichkeiten. Für jedes [mm] x^k [/mm] aber auch, da es sich um eine Selbstabbildung handelt und ich ja dann nur Werte von 0 bis 5 einsetzten darf. Also [mm] 6^2+6^2+6^2.... [/mm] wie lange geht das? und wenn ich weiss, dass aber jetzt [mm] x^3=x [/mm] gilt, ziehe ich dann wieder [mm] 6^2 [/mm] ab?
Hoffentlich liege ich nicht völlig daneben! Wäre nett wenn ihr mir noch ein bisschen weiterhelft!
Danke =)
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Wenn für alle [mm]x \in \mathbb{Z}_6[/mm] gilt: [mm]x^3 = x[/mm], dann kann man das zyklisch fortsetzen, indem man die Gleichungen fortwährend mit [mm]x[/mm] multipliziert:
[mm]x^4 = x^2[/mm]
[mm]x^5 = x^3 = x[/mm]
[mm]x^6 = x^2[/mm]
[mm]x^7 = x^3 = x[/mm]
und so weiter. Wenn man also eine Abbildung durch ein Polynom definiert, dann kann man für jede Potenz von [mm]x[/mm] mit einem Exponenten >2 auch [mm]x[/mm] oder [mm]x^2[/mm] schreiben. So bekommt man ein Polynom von höchstens zweitem Grad. Jede Abbildung, die durch ein Polynom definiert wird, kann daher auch durch ein solches Polynom definiert werden:
[mm]f(x) = ax^2 + bx + c[/mm]
Allerdings gibt es darunter immer noch gleiche, etwa
[mm]f(x) = -x^2 + x + 1 \, , \ \ g(x) = 2x^2 - 2x + 1[/mm] (Koeffizienten modulo 6)
Als Selbstabbildungen von [mm]\mathbb{Z}_6[/mm] sind die Abbildungen gleich: [mm]f=g[/mm]. Das kannst du leicht überprüfen, indem du alle [mm]x \in \mathbb{Z}_6[/mm] einsetzt.
Jetzt verbleibt für dich noch die folgende Aufgabe: Wann definieren zwei Polynome von höchstens zweitem Grad dieselbe Abbildung? Wenn du die Frage beantworten kannst, dann kannst du auch die Polynomabbildungen zählen. Ich komme auf 108.
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> Wenn für alle [mm]x \in \mathbb{Z}_6[/mm] gilt: [mm]x^3 = x[/mm], dann kann
> man das zyklisch fortsetzen, indem man die Gleichungen
> fortwährend mit [mm]x[/mm] multipliziert:
>
> [mm]x^4 = x^2[/mm]
> [mm]x^5 = x^3 = x[/mm]
> [mm]x^6 = x^2[/mm]
> [mm]x^7 = x^3 = x[/mm]
>
> und so weiter. Wenn man also eine Abbildung durch ein
> Polynom definiert, dann kann man für jede Potenz von [mm]x[/mm] mit
> einem Exponenten >2 auch [mm]x[/mm] oder [mm]x^2[/mm] schreiben. So bekommt
> man ein Polynom von höchstens zweitem Grad. Jede
> Abbildung, die durch ein Polynom definiert wird, kann daher
> auch durch ein solches Polynom definiert werden:
>
> [mm]f(x) = ax^2 + bx + c[/mm]
>
> Allerdings gibt es darunter immer noch gleiche, etwa
>
> [mm]f(x) = -x^2 + x + 1 \, , \ \ g(x) = 2x^2 - 2x + 1[/mm]
> (Koeffizienten modulo 6)
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> Als Selbstabbildungen von [mm]\mathbb{Z}_6[/mm] sind die Abbildungen
> gleich: [mm]f=g[/mm]. Das kannst du leicht überprüfen, indem du
> alle [mm]x \in \mathbb{Z}_6[/mm] einsetzt.
Ja stimmt, hab ich gemacht.
>
> Jetzt verbleibt für dich noch die folgende Aufgabe: Wann
> definieren zwei Polynome von höchstens zweitem Grad
> dieselbe Abbildung?
Kann es sein, dass das gilt, wenn die Koeffizienten addiert Null ergeben, (und wenn es das gleiche c gibt)?
> Wenn du die Frage beantworten kannst,
> dann kannst du auch die Polynomabbildungen zählen. Ich
> komme auf 108.
Da hab ich jetzt noch so meine Schwierigkeiten, wenn das bisher so stimmt. Ich rechne 11*6+11*6+11=143. (Wegen der positiven und negativen Möglichkeiten für die Koeffizienten)
Wenn du auf 108 kommst, sind das 35 weniger. Ich gehe mal davon aus, dass die Rechnung die du Subtrahierst folgendermaßen lauten könnte: 6*5+5. Stimmt das?
Falls ja, wäre das dann der Fall, das die Koeffizienten Null ergeben und das c das gleiche ist?
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Wenn es nur um die Polynome [mm]ax^2 + bx + c[/mm] höchstens zweiten Grades als formale Ausdrücke im Sinne der Algebra geht (also noch nicht um die Polynomfunktionen [mm]f \colon x \mapsto ax^2 + bx + c[/mm]), dann kannst du deren Anzahl mit elementaren kombinatorischen Hilfsmitteln bestimmen. Wie viele Möglichkeiten hast du denn für [mm]a,b,c[/mm]? Und wie bekommst du aus diesen Anzahlen die Anzahl der Polynome?
Deine Überlegungen dazu verstehe ich nicht. Wo kommt die 11 her? Du redest von einem Vorzeichen. Ist dir klar, daß z.B. [mm]-2=4[/mm] gilt, da wir alle Zahlen modulo 6 auffassen? Wenn du also in deinen Überlegungen die 4 dabei hast, dann darfst du die -2 nicht auch noch mitzählen. Es gilt z.B.
[mm]\mathbb{Z}_6 = \{ -2,-1,0,1,2,3 \} = \{ 0,1,2,3,4,5 \} = \{ -14,11,-6,19,8,2013 \}[/mm]
Ganz formal müßten wir statt etwa von 2 von der Restklasse, die 2 enthält, reden und könnten dafür [mm]\overline{2}[/mm] oder ähnlich schreiben. Ich habe gedacht, das ist im Kontext klar, und deshalb die etwas ungenaue, aber bequemere Notation gewählt.
Es stimmt nicht, daß in Fällen, wo [mm]f(x)=g(x)[/mm] im Sinne von Funktionen gilt, die Summe der Koeffizienten von [mm]x^2[/mm] und [mm]x[/mm] jeweils 0 ergeben müssen. Das stimmt ja schon bei meinen Beispielen nicht: [mm]a+a'=-1+2=1, \ b+b'=-2+1=-1=5[/mm]. Oder hast du [mm]a+b[/mm] und [mm]a'+b'[/mm] gerechnet? Überlege einmal, warum das kein sinnvolles Kriterium für den Vergleich zweier (!) Funktionen sein kann.
Jetzt machen wir das einmal richtig. Wir haben also zwei Polynomfunktionen
[mm]f(x) = ax^2 + bx + c \, , \ \ g(x) = a'x^2 + b'x + c'[/mm]
und fragen, wann die gleich sind, also für alle [mm]x \in \mathbb{Z}_6[/mm] denselben Wert liefern:
[mm]\forall x: \ ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'[/mm]
Wenn das für alle [mm]x[/mm] gilt, muß es auch für spezielle gelten. Setze also einmal [mm]x=0,1,-1 \in \mathbb{Z}_6[/mm] ein. Dadurch erhältst du Bedingungen für die Koeffizienten. Was kannst du aus ihnen folgern? Unterscheide verschiedene Fälle.
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