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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 15.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Seien [mm] x_{i}\in [/mm] K mit [mm] i\in\{0,1,...,n\} [/mm] paarweise verschieden und [mm] y_{i}\in [/mm] K beliebig.
Zeigen Sie, dass es genau ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[t] vom Grad [mm] \le [/mm] n mit [mm] f(x_{i})=y_{i} [/mm] für alle [mm] 0\le i\le [/mm] n gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey habe schon einen Ansatz, aber mir fehlen ein paar Zusammenhänge.
Zunächst stelle ich eine Gleichung für das Polynom auf:
[mm] f:=\summe_{k=0}^{n}a_{k}t^{k}\in [/mm] K[t]
Setze [mm] t=x_{i} [/mm] und erhalte die Polynomabbildung:
[mm] f(x_{i})=\summe_{k=0}^{n}a_{k}x_{i}^{k}\in [/mm] K
Nun kann ich die Polynomabbildungen für die einzelnen [mm] x_{i} [/mm] zusammen in eine Matrix schreiben:
Seien [mm] A=\vektor{a_{0} \\ ...\\ a_{n}}\in K^{n+1 \times 1}, Y=\vektor{y_{0} \\ ...\\ y_{n}}\in K^{n+1 \times 1} [/mm] und [mm] V=\pmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & ... & x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} }\in K^{n+1 \times n+1}
[/mm]
Es ergibt sich also:
[mm] V*A=\pmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & ... & x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} }*\vektor{a_{0} \\ ...\\ a_{n}}=\pmat{ a_{0} & a_{1}x_{0} & a_{2}x_{0}^{2} & ... & a_{n}x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ a_{0} & a_{1}x_{n} & a_{2}x_{n}^{2} & ... & a_{n}x_{n}^{n} }=\vektor{y_{0} \\ ...\\ y_{n}}=Y
[/mm]
Nun ist V ja die Vandermonde-matrix. Jetzt hab ich gesehen, dass man kann die Eindeutigkeit und Existenz des Polynoms über die det(V) machen kann. Mir ist zwar klar, dass det(V) zu einer invertierbaren Matrix V existiert und eindeutig ist. Doch wie ist dann der genaue Zusammenhang mit dem Polynom?
Also:
Wieso gilt die Existenz und Eindeutigkeit des Polynoms aufgrund der Existenz und Eindeutigkeit von det(V)? Und wieso spielen die Koeffizienten [mm] a_{0} [/mm] bis [mm] a_{n} [/mm] dabei keine Rolle?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 15.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]x_{i}\in[/mm] K mit [mm]i\in\{0,1,...,n\}[/mm] paarweise
> verschieden und [mm]y_{i}\in[/mm] K beliebig.
> Zeigen Sie, dass es genau ein Polynom f [mm]\in[/mm] K[t] vom Grad [mm]\le[/mm] n mit [mm]f(x_{i})=y_{i}[/mm] für alle [mm]0\le i\le[/mm] n gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hey habe schon einen Ansatz, aber mir fehlen ein paar Zusammenhänge.
>
> Zunächst stelle ich eine Gleichung für das Polynom auf:
> [mm]f:=\summe_{k=0}^{n}a_{k}t^{k}\in[/mm] K[t]
> Setze [mm]t=x_{i}[/mm] und erhalte die Polynomabbildung:
> [mm]f(x_{i})=\summe_{k=0}^{n}a_{k}x_{i}^{k}\in[/mm] K
>
> Nun kann ich die Polynomabbildungen für die einzelnen [mm]x_{i}[/mm] zusammen in eine Matrix schreiben:
> Seien [mm]A=\vektor{a_{0} \\ ...\\ a_{n}}\in K^{n+1 \times 1}, Y=\vektor{y_{0} \\ ...\\ y_{n}}\in K^{n+1 \times 1}[/mm] und [mm]V=\pmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & ... & x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} }\in K^{n+1 \times n+1}[/mm]
>
> Es ergibt sich also:
> [mm]V*A=\pmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & ... & x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} }*\vektor{a_{0} \\ ...\\ a_{n}}=\pmat{ a_{0} & a_{1}x_{0} & a_{2}x_{0}^{2} & ... & a_{n}x_{0}^{n} \\ ... & ... & ... &... & ... \\ a_{0} & a_{1}x_{n} & a_{2}x_{n}^{2} & ... & a_{n}x_{n}^{n} }=\vektor{y_{0} \\ ...\\ y_{n}}=Y[/mm]
Das ist genau der richtige Ansatz :)
>
> Nun ist V ja die Vandermonde-matrix.
Genau. Also, was kannst du ueber [mm] $\det [/mm] V$ aussagen?
> Jetzt hab ich gesehen, dass man kann die Eindeutigkeit und Existenz des Polynoms über die det(V) machen kann. Mir ist zwar klar, dass det(V) zu einer invertierbaren Matrix V existiert und eindeutig ist. Doch wie ist dann der genaue Zusammenhang mit dem Polynom?
> Also:
> Wieso gilt die Existenz und Eindeutigkeit des Polynoms aufgrund der Existenz und Eindeutigkeit von det(V)? Und wieso spielen die Koeffizienten [mm]a_{0}[/mm] bis [mm]a_{n}[/mm] dabei keine Rolle?
Das Stichwort heisst "lineare Algebra", oder genauer: Loesbarkeit und Eindeutigkeit der Loesung von linearen Gleichungssystemen.
Was weisst du darueber? Wann ist ein LGS $A x = b$ fuer alle $b$ eindeutig loesbar, falls $A$ eine quadatische Matrix ist? Was muss dann fuer $A$ gelten?
(Das $A$ ist hier das $V$.)
Und: jede quadratische Matrix hat eine Determinate. Da brauchst du nicht mit "Existenz" und "Eindeutigkeit" zu kommen -- zumindest nicht in dem Kontext!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Sa 15.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
Achsooo,
Für A aus [mm] K^{n\times n} [/mm] ist
Ax=b eindeutig lösbar, wenn rang=n.
Und hier gilt:
Va=y (ein bisschen andere Notation als gerade)
ist eindeutig lösbar,
weil [mm] det(V)=\produkt_{0\le i
Damit gibt es für jedes y genau ein a, sodass Va=y eindeutig lösbar ist.
Und jetzt auf das Polynom übertragen: Es gibt eine beliebige konstellation von [mm] y_{i} [/mm] genau ein Polynom f, sodass [mm] f(x_{i})=y_{i} [/mm] ist, was die Beh. war.
Klasse danke für den Tipp, war viel einfacher als ich dachte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 15.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Achsooo,
> Für A aus [mm]K^{n\times n}[/mm] ist
> Ax=b eindeutig lösbar, wenn rang=n.
>
> Und hier gilt:
> Va=y (ein bisschen andere Notation als gerade)
> ist eindeutig lösbar,
> weil [mm]det(V)=\produkt_{0\le i
> ist (denn nach Vor. ist [mm]x_{j}\not=x_{i}).[/mm]
> Damit gibt es für jedes y genau ein a, sodass Va=y
> eindeutig lösbar ist.
> Und jetzt auf das Polynom übertragen: Es gibt eine
> beliebige konstellation von [mm]y_{i}[/mm] genau ein Polynom f,
> sodass [mm]f(x_{i})=y_{i}[/mm] ist, was die Beh. war.
genau so ist es :)
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Sa 15.01.2011 | | Autor: | steve.h |
hey diddy... irgendwie habe ich das doch nciht so ganz verstanden... kannst du das nochmal "for dummies" erklären??
gruß steve :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> hey diddy... irgendwie habe ich das doch nciht so ganz
> verstanden... kannst du das nochmal "for dummies"
> erklären??
warum sagst du nicht, was genau du nicht verstehst? Wie weit bist du gekommen?
Frag doch bitte etwas konkreter :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mo 17.01.2011 | | Autor: | steve.h |
ich hatte 99% nicht verstanden.... hat sich aber schon geklärt... danke... hatte diddy persönlich getroffen und der hats mir nochmal erklärt... jetzt habe ich es verstanden... danke...
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