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| Aufgabe | Seien [mm] $x_1
a) Es gibt genau ein Polynom vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ mit der Eigenschaft:
[mm] $p(x_i)=f(x_i), \quad [/mm] i=1,2,3$ und [mm] $p'(x_2)=f'(x_2)$
[/mm]
b) Für alle [mm] $x\in [x_1,x_3]$ [/mm] gilt die Fehlerabschätzung
[mm] |f(x)-p(x)|\leq \frac{||f^{(4)}||_{\infty}}{4!}|(x-x_1)(x-x_2)^2(x-x_3)| [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
a)
Wie kann ich am besten die Eindeutigkeit dieses Polynoms zeigen?
Indem ich einfach einen Ansatz
[mm] p(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
mache und dann die Koeffizienten bestimme, die dann auch eindeutig sind?
Das kommt mir ziemlich aufwendig vor, aber leider habe ich keine andere Idee.
b)
Wir haben die Fehlerdarstellung, dass wenn ich eine Funktion [mm] $f\in C^{n+1}(a,b)$ [/mm] habe und das zugehörige Interpolationspolynom [mm] $p\in\mathbb{P}_n$, [/mm] zu den paarweise verschiedenen Stütsstellen [mm] $x_0,..., x_n$, [/mm] dann existiert für jedes [mm] $x\in(a,b)$ [/mm] ein [mm] $\zeta_x\in(a,b)$ [/mm] mit
[mm] $f(x)-p(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(\zeta_x)\cdot\prod_{k=0}^n (x-x_k)$
[/mm]
Dies müsste ich nun abschätzen.
Den Faktor [mm] $\frac{||f^{(4)}||_{\infty}}{4!}$ [/mm] zu erhalten sollte kein Problem sein. Mit obiger Fehlerdarstellung kann ich [mm] $f^{n+1}(\zeta_x)$ [/mm] einfach durch [mm] $||f^{(4)}||_{\infty}$ [/mm] nach oben abschätzen.
Da [mm] $f^4$ [/mm] stetig ist, wird dieses Maximum angenommen.
Das einzige was dann noch "stört" ist, dass ich einen Faktor in der Vielfachheit 2 vorliegen habe, was in obiger Fehlerdarstellung nicht passieren kann.
[mm] $(x-x_2)^2$
[/mm]
Sind die Ansätze zu gebrauchen?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 23.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]$x_1
> Sie:
>
> a) Es gibt genau ein Polynom vom Grad [mm]\leq 3[/mm] mit der
> Eigenschaft:
>
> [mm]p(x_i)=f(x_i), \quad i=1,2,3[/mm] und [mm]p'(x_2)=f'(x_2)[/mm]
>
> b) Für alle [mm]x\in [x_1,x_3][/mm] gilt die Fehlerabschätzung
>
> [mm]|f(x)-p(x)|\leq \frac{||f^{(4)}||_{\infty}}{4!}|(x-x_1)(x-x_2)^2(x-x_3)|[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> a)
>
> Wie kann ich am besten die Eindeutigkeit dieses Polynoms
> zeigen?
> Indem ich einfach einen Ansatz
>
> [mm]p(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>
> mache und dann die Koeffizienten bestimme, die dann auch
> eindeutig sind?
> Das kommt mir ziemlich aufwendig vor, aber leider habe ich
> keine andere Idee.
eine Standardmethode wäre auch: Seien
[mm] $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
und
[mm] $q(x)=tx^3+ux^2+vx+w$
[/mm]
zwei Polynome wie gewünscht; dann zeigt man $p [mm] \equiv q\,.$
[/mm]
Hier würde ich wie folgt anfangen: Für [mm] $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] ist
[mm] $p\,'(x)=3ax^2+2bx+c\,,$
[/mm]
also
[mm] $c=f\,'(x_2)-3a{x_2}^2-2b{x_2}\,.$
[/mm]
Einsetzen und Verwendung der anderen Informationen liefert für $k=1,2,3$:
[mm] $f(x_k)=a{x_k}^3+b{x_k}^2+(f\,'(x_2)-3a{x_2}^2-2b{x_2})*x_k+d$
[/mm]
bzw.
[mm] $\red{a}*({x_k}^3-3{x_k}{x_2}^2)+\red{b}*({x_k}^2-2x_kx_2)+\red{d}=f(x_k)\,.$
[/mm]
Rotmarkiert sind unsere noch unbekannten Variablen hierbei. Jetzt schau' Dir
die Determinante der Matrix
[mm] $\pmat{{x_1}^3-3{x_1}{x_2}^2, & {x_1}^2-2x_1 x_2, & 1 \\ {x_2}^3-3{x_2}{x_2}^2, & {x_2}^2-2x_2 x_2, & 1\\ {x_3}^3-3{x_3}{x_2}^2, & {x_3}^2-2x_3 x_2, & 1}=\pmat{x_1*({x_1}^2-3{x_2}^2), & x_1*({x_1}-2x_2), & 1 \\ x_2*({x_2}^2-3{x_2}^2), & x_2*({x_2}-2x_2), & 1\\ x_3*({x_3}^2-3{x_2}^2), & x_3*({x_3}-2x_2), & 1}$
[/mm]
Ich hoffe mal, dass, wenn man das ausschreibt, sieht, dass diese [mm] $\neq [/mm] 0$ sein
wird!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 24.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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